利润最大化

一、核心定义

利润最大化(Profit Maximization)是企业的基本目标,即选择产量使利润达到最大。利润定义为总收益减去总成本:

$$\pi (q)=TR(q)-TC(q)=p\cdot q-C(q)$$

其中:

• $\pi$:利润
• $TR=p\cdot q$:总收益
• $TC=C(q)$:总成本
• $p$:价格
• $q$:产量

最优化问题:

$$\underset{q}{max}\pi (q)=p\cdot q-C(q)$$

二、理论推导 / 核心逻辑

一阶条件(First-Order Condition):

$$\frac{d\pi }{dq}=p-MC(q)=0$$

因此:

$$p=MC(q)$$

这是利润最大化的核心条件:价格等于边际成本。

二阶条件(Second-Order Condition):

$$\frac{d^2\pi }{d{q}^2}=-\frac{dMC}{dq}<0$$

即边际成本递增,保证利润最大而非最小。

边际分析:

• 当 $p>MC$ 时,增加产量可增加利润
• 当 $p<MC$ 时,减少产量可增加利润
• 当 $p=MC$ 时,利润最大化

完全竞争与垄断的区别:

1. 完全竞争:企业是价格接受者,$p$ 外生

   $$p=MC(q)$$

2. 垄断:企业面对向下倾斜的需求曲线

   $$MR(q)=MC(q)$$

   其中 $MR=p+q\frac{dp}{dq}<p$

三、关键结论

1. 利润最大化条件: $p=MC$ (完全竞争)或 $MR=MC$ (垄断)
2. 边际成本递增保证二阶条件
3. 短期:若 $p<AVC$,企业关停
4. 长期:若 $p<AC$,企业退出
5. 完全竞争长期均衡: $p=MC=A{C}_{min}$,经济利润为零
6. 垄断长期均衡:可能存在正经济利润

四、图形解释

完全竞争企业:

• 横轴:产量 $q$
• 纵轴:价格/成本

曲线:

• 价格线 $p$:水平线(企业是价格接受者)
• MC曲线:U形,向右上方倾斜
• AC曲线:U形
• AVC曲线:U形,低于AC

最优点:

• $p=MC$ 的交点
• 若 $p>AC$:正利润(阴影面积)
• 若 $AC>p>AVC$:负利润但继续生产
• 若 $p<AVC$:关停

垄断企业:

• 需求曲线 $D$:向右下方倾斜
• MR曲线:在需求曲线下方,斜率更陡
• MC曲线:U形

最优点:

• $MR=MC$ 的交点确定产量 $q^{\ast }$
• 从需求曲线读取价格 $p^{\ast }$
• 利润:$(p^{\ast }-AC(q^{\ast }))\times q^{\ast }$

五、例子(现实或数值)

例子1:完全竞争企业

成本函数: $TC=100+10q+q^2$

边际成本: $MC=10+2q$

平均成本: $AC=\frac{100}{q}+10+q$

市场价格: $p=50$

利润最大化:

$$50=10+2q\Rightarrow q^{\ast }=20$$

利润:

$$\pi =50\times 20-(100+10\times 20+{20}^2)=1000-700=300$$

例子2:垄断企业

需求函数: $p=100-2q$

总收益: $TR=100q-2q^2$

边际收益: $MR=100-4q$

成本函数: $TC=50+20q$

边际成本: $MC=20$

利润最大化:

$$100-4q=20\Rightarrow q^{\ast }=20$$

价格:

$$p^{\ast }=100-2\times 20=60$$

利润:

$$\pi =60\times 20-(50+20\times 20)=1200-450=750$$

例子3:关停决策

成本函数: $TC=200+5q+0.5q^2$

$FC=200,VC=5q+0.5q^2$

$MC=5+q,AVC=5+0.5q$

$AVC$ 最小值:在 $q=0$ 时为5

• 若 $p\ge 5$:生产
• 若 $p<5$:关停

例如 $p=15$:

$$15=5+q\Rightarrow q^{\ast }=10$$$$\pi =15\times 10-(200+5\times 10+0.5\times 100)=150-300=-150$$

虽然亏损,但 $p>AVC$,短期继续生产以覆盖部分固定成本。

六、相关知识

• 成本理论
• 边际成本
• 完全竞争
• 垄断
• 供给曲线

七、现实应用

1. 定价决策:根据边际成本确定价格
2. 产量决策:选择使利润最大的产量
3. 关停决策:评估是否继续经营
4. 进入退出:长期决策基于经济利润
5. 反垄断:评估垄断企业的定价行为

八、小结

利润最大化是企业的核心目标,最优条件是价格(或边际收益)等于边际成本。完全竞争企业在价格等于边际成本处生产,垄断企业在边际收益等于边际成本处生产。理解利润最大化是分析企业行为和市场均衡的基础。