边际产量

一、核心定义

边际产量(Marginal Product, MP)是指在其他投入要素不变的情况下,增加一单位某种要素投入所带来的产出增量。对于生产函数 $q = f (K, L)$ :

劳动的边际产量:

M P_{L} = \frac{\partial q}{\partial L} = \frac{\partial f (K, L)}{\partial L}

资本的边际产量:

M P_{K} = \frac{\partial q}{\partial K} = \frac{\partial f (K, L)}{\partial K}

离散情况下:

M P_{L} = \frac{Δ q}{Δ L} = q (K, L + 1) - q (K, L)

二、理论推导 / 核心逻辑

边际产量递减规律(Law of Diminishing Marginal Returns):

在其他要素固定时,连续增加某一要素投入,边际产量最终会递减。数学表达:

\frac{\partial^{2} q}{\partial L^{2}} < 0 (当 L 足够大时)

三阶段生产理论:

以劳动为可变要素:

第一阶段: $M P_{L} > A P_{L}$ ,平均产量递增
第二阶段: $0 < M P_{L} < A P_{L}$ ,边际产量递减但为正
第三阶段: $M P_{L} < 0$ ,边际产量为负

理性生产者在第二阶段生产。

边际产量与平均产量的关系:

平均产量: $A P_{L} = \frac{q}{L}$

\frac{d (A P_{L})}{d L} = \frac{M P_{L} - A P_{L}}{L}

当 $M P_{L} > A P_{L}$ 时, $A P_{L}$ 递增
当 $M P_{L} = A P_{L}$ 时, $A P_{L}$ 达到最大
当 $M P_{L} < A P_{L}$ 时, $A P_{L}$ 递减

三、关键结论

边际产量是生产函数的一阶偏导数
边际产量递减是普遍规律(短期)
边际产量曲线与平均产量曲线相交于平均产量最高点
边际产量为零时,总产量达到最大
边际产量为负时,增加投入反而减少产出
长期中,所有要素可变,边际产量递减不一定成立

四、图形解释

总产量、平均产量、边际产量曲线:

横轴:劳动投入 $L$
纵轴:产量

总产量曲线 $T P$ :

S形曲线
拐点:边际产量最大
最高点:边际产量为零

边际产量曲线 $M P$ :

先上升后下降
与平均产量曲线相交于 $A P$ 最高点
为零时, $T P$ 达到最大

平均产量曲线 $A P$ :

倒U形
最高点: $M P = A P$

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯生产函数

q = 10 K^{0.4} L^{0.6}

固定 $K = 100$ :

边际产量:

M P_{L} = \frac{\partial q}{\partial L} = 10 \times 0.6 \times 100^{0.4} \times L^{- 0.4} = 6 \times 100^{0.4} \times L^{- 0.4}

平均产量:

A P_{L} = \frac{q}{L} = 10 \times 100^{0.4} \times L^{- 0.4}

数值计算:

$L$	$q$	$M P_{L}$	$A P_{L}$
10	251	15.1	25.1
20	398	11.9	19.9
50	794	9.5	15.9
100	1259	7.6	12.6

边际产量和平均产量都递减。

例子2:数值例子

生产函数: $q = 20 L + 5 L^{2} - 0.2 L^{3}$

$L$	$T P$	$M P_{L}$	$A P_{L}$
0	0	-	-
5	162.5	32.5	32.5
10	400	40	40
15	637.5	32.5	42.5
20	800	20	40
25	812.5	2.5	32.5

$L = 10$ 时, $M P_{L}$ 最大
$L = 15$ 时, $A P_{L}$ 最大, $M P_{L} = A P_{L}$
$L > 25$ 时, $M P_{L} < 0$

例子3:农业生产

固定1公顷土地,增加劳动投入:

劳动(人)	产量(吨)	$M P_{L}$	$A P_{L}$
1	2	2	2
2	5	3	2.5
3	9	4	3
4	12	3	3
5	14	2	2.8
6	15	1	2.5

边际产量在第3人时最大,之后递减。

六、相关知识

七、现实应用

要素雇佣决策:企业根据边际产量决定雇佣量
工资决定:完全竞争下,工资等于劳动的边际产品价值
农业政策:分析土地、劳动、化肥的边际贡献
生产效率:识别生产的合理区间(第二阶段)
技术评估:比较不同技术的边际生产率

八、小结

边际产量衡量额外一单位要素投入的产出增量,是生产者决策的核心概念。边际产量递减规律解释了短期生产的约束。理解边际产量与平均产量的关系,以及三阶段生产理论,对于分析企业生产决策和要素需求至关重要。

边际产量 ​

一、核心定义 ​

二、理论推导 / 核心逻辑 ​

三、关键结论 ​

四、图形解释 ​

五、例子(现实或数值) ​

六、相关知识 ​

七、现实应用 ​

八、小结 ​