价格效应

一、核心定义

价格效应(Price Effect)是指某种商品价格变化时,消费者最优消费束的变化。当商品1的价格从 $p_1$ 变为 $p_1^{\prime }$ 时,最优消费从 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 变为 $(x_1^{{\ast }^{\prime }},x_2^{{\ast }^{\prime }})$,这一变化即为价格效应。

价格效应可分解为两个部分:

• 替代效应(Substitution Effect):相对价格变化导致的消费调整
• 收入效应(Income Effect):实际购买力变化导致的消费调整

$$\text{价格效应}=\text{替代效应}+\text{收入效应}$$

二、理论推导 / 核心逻辑

斯勒茨基分解(Slutsky Decomposition):

设商品1价格从 $p_1$ 降至 $p_1^{\prime }$,初始消费束为 $(x_1^0,x_2^0)$。

1. 总效应: $\mathrm{\Delta }{x}_1^{total}=x_1^{new}-x_1^0$

2. 替代效应: 保持购买力不变(仍能买得起原消费束),仅相对价格变化的影响

   • 虚拟收入: $m^{\prime }=p_1^{\prime }{x}_1^0+p_2{x}_2^0$
   • 替代效应: $\mathrm{\Delta }{x}_1^S=x_1^S-x_1^0$

3. 收入效应: 从虚拟预算到新预算的变化

   • 收入效应: $\mathrm{\Delta }{x}_1^I=x_1^{new}-x_1^S$

希克斯分解(Hicks Decomposition):

替代效应定义为保持效用不变时的价格变化影响,通过补偿变化(CV)或等价变化(EV)衡量。

价格-消费曲线(Price-Consumption Curve, PCC):

连接不同价格下最优消费点的轨迹。PCC的形状反映了两种商品的关系:

• 向右上方倾斜:两商品为替代品
• 向右下方倾斜:两商品为互补品

三、关键结论

1. 价格效应 = 替代效应 + 收入效应
2. 替代效应总是与价格变化方向相反(负相关)
3. 收入效应方向取决于商品类型(正常品或劣等品)
4. 正常品:价格下降,两种效应都增加需求
5. 劣等品:收入效应可能部分抵消替代效应
6. 吉芬品:收入效应超过替代效应,价格下降需求反而减少

四、图形解释

在 $(x_1,x_2)$ 平面上:

斯勒茨基分解图:

1. 初始均衡:预算线 $AB$ 与无差异曲线 $U_0$ 切于点 $E_0$
2. 价格下降:预算线旋转至 $A{B}^{\prime }$,新均衡点 $E_2$ 在 $U_1$ 上
3. 虚拟预算线:平行于 $A{B}^{\prime }$ 且过 $E_0$ 的直线,切 $U_0$ 于点 $E_1$
4. 替代效应: $E_0\to E_1$ (沿 $U_0$ 移动)
5. 收入效应: $E_1\to E_2$ (从 $U_0$ 到 $U_1$)

价格-消费曲线:

• 横轴: $x_1$,纵轴: $x_2$
• 曲线连接不同 $p_1$ 下的最优点
• 从PCC可导出需求曲线

五、例子(现实或数值)

例子1:正常品的价格效应

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1{x}_2$

初始: $p_1=4,p_2=2,m=80$

最优解: $x_1^0=10,x_2^0=20$ (柯布-道格拉斯,各花一半收入)

价格下降: $p_1^{\prime }=2$

新最优解: $x_1^{new}=20,x_2^{new}=20$

总效应: $\mathrm{\Delta }{x}_1=20-10=10$

斯勒茨基替代效应:

• 虚拟收入: $m^{\prime }=2\times 10+2\times 20=60$
• 虚拟最优: $x_1^S=15,x_2^S=15$
• 替代效应: $15-10=5$

收入效应: $20-15=5$

例子2:完全替代品

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1+x_2$

初始: $p_1=3,p_2=2,m=60$

最优解: $x_1^0=0,x_2^0=30$ (只买便宜的商品2)

价格下降: $p_1^{\prime }=1$

新最优解: $x_1^{new}=60,x_2^{new}=0$ (转向更便宜的商品1)

总效应: $\mathrm{\Delta }{x}_1=60$,全部为替代效应(无收入效应,因为效用线性)

例子3:劣等品

假设土豆是劣等品,牛肉是正常品。

土豆价格下降:

• 替代效应:增加土豆消费(+)
• 收入效应:实际收入增加,减少土豆消费(-)
• 总效应:取决于两者相对大小,通常替代效应占主导

六、相关知识

• 替代效应
• 收入效应
• 需求函数
• 需求弹性
• 最优消费选择
• 吉芬品

七、现实应用

1. 价格策略:企业预测降价对销量的影响
2. 税收分析:评估商品税对消费结构的影响
3. 补贴政策:比较价格补贴与现金补贴的效果
4. 通货膨胀:分析相对价格变化对消费的影响
5. 国际贸易:关税变化对进口商品需求的影响

八、小结

价格效应衡量价格变化对消费的总影响,可分解为替代效应和收入效应。替代效应总是与价格反向变动,而收入效应方向取决于商品类型。理解这一分解对于预测需求变化、设计价格政策和评估福利变化至关重要。