子博弈完美均衡

一、核心定义

子博弈完美均衡(Subgame Perfect Equilibrium, SPE)是动态博弈的精炼均衡概念,要求策略组合在每个子博弈中都构成纳什均衡。SPE排除了不可信威胁,确保参与者的策略在博弈的任何阶段都是最优的。

基本概念:

1. 子博弈(Subgame):从某个单节点信息集开始的博弈部分
2. 策略(Strategy):完整的行动计划,规定在每个信息集的行动
3. 可信性(Credibility):威胁或承诺在实际执行时是最优的

数学表达:

策略组合 $s^{\ast }=(s_1^{\ast },...,s_n^{\ast })$ 是子博弈完美均衡,如果对于每个子博弈 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$:

$$s^{\ast }{|}_{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\text{ 是 }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\text{ 的纳什均衡}$$

其中 $s^{\ast }{|}_{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$ 表示 $s^{\ast }$ 在子博弈 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ 中的限制。

与纳什均衡的关系:

• 所有SPE都是纳什均衡
• 不是所有纳什均衡都是SPE
• SPE排除了依赖不可信威胁的纳什均衡

二、理论推导 / 核心逻辑

逆向归纳法(Backward Induction):

求解有限完美信息博弈的SPE的标准方法:

1. 从最后一个决策节点开始
2. 确定该节点的最优行动
3. 向前推进,将后续最优行动视为给定
4. 重复直到初始节点

逆向归纳的数学表达:

对于 $T$ 期博弈,从 $t=T$ 开始:

$$s_i^{\ast }(h_t)=\arg \underset{a_i}{max}{u}_i(a_i,s_{-i}^{\ast }(h_t),h_t)$$

其中 $h_t$ 是 $t$ 期的历史。

一次性偏离原则(One-Deviation Principle):

在有限博弈中,策略组合是SPE当且仅当没有参与者能通过在任何单个信息集上偏离而获益(假设其他地方遵循原策略)。

证明思路:

假设 $s^{\ast }$ 不是某个子博弈 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ 的纳什均衡,则存在参与者 $i$ 和策略 $s_i^{\prime }$ 使得:

$$u_i(s_i^{\prime },s_{-i}^{\ast }|{\mathrm{\Gamma }}^{\prime })>u_i(s^{\ast }|{\mathrm{\Gamma }}^{\prime })$$

构造新策略:在 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ 之外遵循 $s_i^{\ast }$,在 ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ 内使用 $s_i^{\prime }$,这构成有利可图的偏离,矛盾。

三、关键结论

1. SPE要求策略在每个子博弈中都是最优的
2. 逆向归纳法是求解完美信息博弈SPE的标准方法
3. SPE排除了不可信威胁和不可信承诺
4. 有限完美信息博弈的SPE可通过逆向归纳唯一确定
5. SPE是纳什均衡的精炼,但不是所有纳什均衡都是SPE
6. 一次性偏离原则简化了SPE的验证
7. SPE广泛应用于讨价还价、市场进入、承诺等问题

四、图形解释

博弈树示例:

        参与者1
       /        \
      L          R
     /            \
  (2,1)        参与者2
              /        \
             l          r
            /            \
         (0,0)          (1,2)

纳什均衡:

• $(R,l)$:参与者1选R,参与者2选l
  • 如果1选L,得2;如果选R,得0(因为2选l)→ 1应选L
  • 但这依赖于2的威胁"选l"

子博弈完美均衡:

逆向归纳:

• 参与者2的子博弈:$l$ 得0,$r$ 得2 → 选 $r$
• 参与者1:预期2选 $r$,比较 $L$ 得2 vs $R$ 得1 → 选 $L$

SPE: $(L,r)$

$(R,l)$ 是纳什均衡但不是SPE,因为"选 $l$"是不可信威胁。

五、例子(现实或数值)

例子1:市场进入博弈

设定:

• 进入者决定进入或不进入
• 在位企业观察后决定战斗或接纳

支付矩阵:

进入者\在位企业    战斗    接纳
进入              -1,0    1,1
不进入             0,2    0,2

纳什均衡:

1. (进入, 接纳):进入者得1,在位企业得1
2. (不进入, 战斗):进入者得0,在位企业得2

子博弈完美均衡:

逆向归纳:

• 在位企业子博弈:战斗得0,接纳得1 → 选接纳
• 进入者:预期接纳,进入得1 > 不进入得0 → 选进入

SPE: (进入, 接纳)

(不进入, 战斗)虽是纳什均衡,但"战斗"是不可信威胁!

例子2:最后通牒博弈

设定:

• 参与者1提议分配100元:$(x,100-x)$
• 参与者2接受或拒绝
• 拒绝则双方得0

逆向归纳:

参与者2的子博弈:

• 如果 $100-x>0$,接受
• 如果 $100-x\le 0$,拒绝

参与者1:

• 预期2接受任何 $x<100$
• 最优:$x=99$,给2留1元

SPE: $(99,1)$,参与者2接受

现实偏离:实验显示人们常拒绝不公平提议(如90-10),因为公平偏好。

例子3:链式商店悖论(Chainstore Paradox)

设定:

连锁店在20个城市,每个城市有潜在进入者

每个城市:

• 进入者:进入或不进入
• 连锁店:战斗或接纳

单个城市支付:

进入者\连锁店    战斗    接纳
进入            -1,0    1,1
不进入           0,2    0,2

逆向归纳:

第20个城市:

• 连锁店选接纳(战斗得0 < 接纳得1)
• 进入者预期接纳,选进入

第19个城市:

• 连锁店在第20城市会接纳(已确定)
• 战斗无声誉价值
• 连锁店选接纳
• 进入者选进入

...依此类推

SPE:所有城市都进入,连锁店都接纳

总支付:连锁店 $20\times 1=20$

悖论:直觉上连锁店应在早期战斗建立"强硬"声誉,但SPE显示这不可信!

解决:引入不完全信息(连锁店可能是"疯狂"类型)

例子4:讨价还价(Rubinstein模型)

设定:

两人分100元,交替出价,贴现因子 $\delta$

• 第1期:参与者1提议 $(x_1,100-x_1)$
  • 2接受 → 结束
  • 2拒绝 → 第2期
• 第2期:参与者2提议 $(x_2,100-x_2)$
  • 1接受 → 结束(效用打折 $\delta$)
  • 1拒绝 → 第3期...

逆向归纳(无限期简化为两期):

第2期:

• 参与者2提议 $(0,100)$
• 参与者1接受(0 vs 拒绝继续谈判的贴现值)

第1期:

• 参与者2预期拒绝后第2期得100,贴现值 $100\delta$
• 参与者2接受当且仅当 $100-x_1\ge 100\delta$
• 参与者1最优:$x_1=100(1-\delta )$

SPE:

• 第1期:$(100(1-\delta ),100\delta )$,立即接受
• 第2期(离均衡路径):$(0,100)$

数值:$\delta =0.9$

• 参与者1得:$100(1-0.9)=10$
• 参与者2得:$90$

先动劣势!

完整无限期SPE:

$$x_1^{\ast }=\frac{100(1-\delta )}{1-{\delta }^2}=\frac{100}{1+\delta }$$

$\delta =0.9$: $x_1^{\ast }=\frac{100}{1.9}\approx 52.6$

例子5:三期投资博弈

设定:

企业决定每期投资 $I_t\in \{0,10\}$

收益:$R_3=50\times (\text{总投资}/30)$ 在第3期实现

贴现因子 $\delta =0.9$

逆向归纳:

第3期:

• 已投资 $I_1+I_2$
• 投资10:$R=50\times \frac{I_1+I_2+10}{30}-10$
• 不投资:$R=50\times \frac{I_1+I_2}{30}$
• 投资当且仅当:$50\times \frac{10}{30}\ge 10\Rightarrow 16.67\ge 10$ ✓

第3期:总是投资

第2期:

• 预期第3期投资10
• 投资10:$-10+\delta \times 50\times \frac{I_1+20}{30}$
• 不投资:$0+\delta \times 50\times \frac{I_1+10}{30}$
• 差异:$-10+0.9\times 50\times \frac{10}{30}=-10+15=5>0$ ✓

第2期:投资

第1期:

• 预期第2、3期都投资
• 投资:$-10+0.9\times (-10)+0.81\times 50=-10-9+40.5=21.5$
• 不投资:$0+0.9\times (-10)+0.81\times 50\times \frac{20}{30}=-9+27=18$

第1期:投资

SPE:每期都投资,总收益21.5

六、相关知识

• 纳什均衡
• 完美贝叶斯均衡
• 重复博弈
• 承诺问题
• 逆向归纳

七、现实应用

1. 市场竞争:

   • 进入威慑
   • 掠夺性定价
   • 产能扩张承诺

2. 谈判:

   • 劳资谈判
   • 国际贸易谈判
   • 并购谈判

3. 政治:

   • 选举承诺
   • 政策可信性
   • 国际条约

4. 法律:

   • 诉讼威胁
   • 和解谈判
   • 惩罚可信性

5. 组织管理:

   • 晋升承诺
   • 激励机制
   • 授权问题

八、小结

子博弈完美均衡是动态博弈的核心解概念,要求策略在每个子博弈中都是最优的,从而排除不可信威胁。逆向归纳法是求解完美信息博弈SPE的标准方法。SPE揭示了承诺问题的本质:未来的威胁只有在实际执行时是最优的才是可信的。理解SPE对于分析市场进入、讨价还价、政策承诺等动态策略互动至关重要。Reinhard Selten因引入子博弈完美均衡概念获得1994年诺贝尔经济学奖。