纳什均衡

一、核心定义

纳什均衡(Nash Equilibrium)是博弈论中的核心概念,指在一个策略组合中,每个参与者的策略都是对其他参与者策略的最优反应,没有参与者有单方面偏离的动机。

形式化定义:

对于 $n$ 人博弈,策略组合 $(s_1^{\ast },s_2^{\ast },\dots ,s_n^{\ast })$ 是纳什均衡,当且仅当对所有参与者 $i$:

$$u_i(s_i^{\ast },s_{-i}^{\ast })\ge u_i(s_i,s_{-i}^{\ast }),\mathrm{\forall }{s}_i\in S_i$$

其中:

• $u_i$:参与者 $i$ 的效用函数
• $s_i^{\ast }$:参与者 $i$ 的均衡策略
• $s_{-i}^{\ast }$:其他参与者的均衡策略组合
• $S_i$:参与者 $i$ 的策略空间

最优反应(Best Response):

参与者 $i$ 对 $s_{-i}$ 的最优反应:

$$B{R}_i(s_{-i})=\arg \underset{s_i\in S_i}{max}{u}_i(s_i,s_{-i})$$

纳什均衡是所有参与者最优反应的交点。

二、理论推导 / 核心逻辑

纳什存在性定理:

若博弈满足:

1. 参与者数量有限
2. 策略空间是紧凸集
3. 效用函数连续且拟凹

则至少存在一个混合策略纳什均衡。

求解方法:

1. 划线法(适用于2×2博弈):

   • 对每个参与者,在每列(行)中标出最优反应
   • 双方都标记的格子是纳什均衡

2. 最优反应函数法:

   • 导出每个参与者的最优反应函数
   • 求解最优反应函数的交点

3. 迭代剔除严格劣策略:

   • 反复剔除严格劣策略
   • 若剩下唯一策略组合,则为纳什均衡

纯策略与混合策略:

• 纯策略纳什均衡:每个参与者选择确定性策略
• 混合策略纳什均衡:参与者以一定概率随机选择策略

三、关键结论

1. 纳什均衡是策略的相互最优反应
2. 纳什均衡可能不唯一
3. 纳什均衡可能不是帕累托最优(如囚徒困境)
4. 每个有限博弈至少存在一个混合策略纳什均衡
5. 严格占优策略均衡一定是纳什均衡
6. 纳什均衡是自我实施的(Self-Enforcing)

四、图形解释

最优反应函数图:

• 横轴:参与者1的策略 $s_1$
• 纵轴:参与者2的策略 $s_2$
• 曲线:$B{R}_1(s_2)$ 和 $B{R}_2(s_1)$
• 交点:纳什均衡

2×2博弈矩阵:

	$L$	$R$
$U$	$a,b$	$c,d$
$D$	$e,f$	$g,h$

用划线法标出最优反应,双重标记的格子是纳什均衡。

五、例子(现实或数值)

例子1:囚徒困境

两个嫌疑人,策略:坦白(C)或抵赖(D)

	C	D
C	-5,-5	0,-10
D	-10,0	-1,-1

最优反应分析:

• 对方C时,自己C(-5) > D(-10)
• 对方D时,自己C(0) > D(-1)

纳什均衡:(C, C),双方各判5年

帕累托最优:(D, D),双方各判1年

例子2:性别战

夫妻选择活动:足球(F)或芭蕾(B)

	F	B
F	2,1	0,0
B	0,0	1,2

纯策略纳什均衡:(F,F) 和 (B,B)

混合策略纳什均衡:

• 男方以 $p$ 概率选F
• 女方以 $q$ 概率选F

女方无差异条件: $2q=1-q\Rightarrow q=1/3$

男方无差异条件: $p=2(1-p)\Rightarrow p=2/3$

混合策略均衡:$(p=2/3,q=1/3)$

例子3:古诺竞争

两家企业选择产量 $q_1,q_2$

市场价格: $p=100-(q_1+q_2)$

成本: $C_i=10q_i$

利润:

$${\pi }_1=[100-(q_1+q_2)]q_1-10q_1$$

最优反应:

$$\frac{\partial {\pi }_1}{\partial q_1}=100-2q_1-q_2-10=0$$$$B{R}_1(q_2)=\frac{90-q_2}{2}$$

对称地:

$$B{R}_2(q_1)=\frac{90-q_1}{2}$$

纳什均衡:

$$q_1^{\ast }=\frac{90-q_2^{\ast }}{2},q_2^{\ast }=\frac{90-q_1^{\ast }}{2}$$

解得: $q_1^{\ast }=q_2^{\ast }=30$

价格: $p^{\ast }=100-60=40$

利润: ${\pi }_1^{\ast }={\pi }_2^{\ast }=30\times (40-10)=900$

例子4:现实应用

• 寡头定价:企业间的价格竞争
• 军备竞赛:国家间的国防支出
• 广告竞争:企业的广告投入
• 拍卖:竞标者的出价策略

六、相关知识

• 囚徒困境
• 占优策略
• 混合策略
• 子博弈完美均衡
• 古诺模型

七、现实应用

1. 寡头竞争:分析企业间的策略互动
2. 国际关系:贸易谈判、军备控制
3. 拍卖设计:设计激励相容的拍卖机制
4. 环境政策:国家间的减排博弈
5. 网络经济:平台竞争、标准之争

八、小结

纳什均衡是博弈论的核心概念,描述了参与者策略的相互最优反应。纳什均衡可能不唯一,也可能不是帕累托最优。理解纳什均衡对于分析策略互动、设计机制和预测博弈结果至关重要。