边际技术替代率

一、核心定义

边际技术替代率(Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS)是指在保持产出水平不变的情况下,增加一单位某种要素投入时可以减少的另一种要素投入量。对于生产函数 $q=f(K,L)$:

$$MRT{S}_{LK}=-\frac{dK}{dL}{|}_{q=\overline{q}}=\frac{M{P}_L}{M{P}_K}=\frac{\partial f/\partial L}{\partial f/\partial K}$$

MRTS表示劳动对资本的技术替代率,即等产量曲线的斜率(取绝对值)。

二、理论推导 / 核心逻辑

沿等产量曲线,产出保持不变,全微分为零:

$$dq=\frac{\partial f}{\partial L}dL+\frac{\partial f}{\partial K}dK=0$$

整理得:

$$\frac{dK}{dL}=-\frac{\partial f/\partial L}{\partial f/\partial K}=-\frac{M{P}_L}{M{P}_K}$$

因此:

$$MRT{S}_{LK}=\frac{M{P}_L}{M{P}_K}$$

边际技术替代率递减规律:

沿等产量曲线向右下方移动(增加劳动,减少资本),MRTS递减:

$$\frac{d(MRTS)}{dL}<0$$

这导致等产量曲线凸向原点,反映了要素间的有限替代性。

三、关键结论

1. MRTS等于两种要素边际产量之比
2. MRTS是等产量曲线的斜率(绝对值)
3. MRTS递减导致等产量曲线凸向原点
4. 完全替代要素:MRTS恒定(等产量曲线为直线)
5. 完全互补要素:MRTS在拐点外无定义(L形等产量曲线)
6. 最优要素组合时,MRTS等于要素价格比

四、图形解释

在 $(L,K)$ 平面上:

• 等产量曲线:向右下方倾斜的凸曲线
• 斜率:任意点的斜率绝对值为该点的MRTS
• 曲线形状:凸向原点(MRTS递减)

不同生产函数的MRTS:

• 柯布-道格拉斯: $MRTS=\frac{\alpha }{\beta }\cdot \frac{K}{L}$,沿射线恒定
• 完全替代: $MRTS$ 恒定
• 完全互补: $MRTS$ 在拐点外为0或无穷大

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯生产函数

$$q=K^{0.3}{L}^{0.7}$$

边际产量:

$$M{P}_L=0.7K^{0.3}{L}^{-0.3},M{P}_K=0.3K^{-0.7}{L}^{0.7}$$

MRTS:

$$MRT{S}_{LK}=\frac{0.7K^{0.3}{L}^{-0.3}}{0.3K^{-0.7}{L}^{0.7}}=\frac{0.7}{0.3}\cdot \frac{K}{L}=\frac{7K}{3L}$$

当 $K=30,L=10$ 时:

$$MRTS=\frac{7\times 30}{3\times 10}=7$$

表示在该点,1单位劳动可替代7单位资本。

例子2:CES生产函数

$$q=(K^{-1}+L^{-1}{)}^{-1}$$$$MRT{S}_{LK}={\left(\frac{K}{L}\right)}^2$$

替代弹性 $\sigma =2$,要素较易替代。

例子3:完全互补(列昂惕夫)

$$q=min\{K,2L\}$$

最优比例: $K=2L$

在拐点上,MRTS无定义;偏离拐点,MRTS为0或无穷大。

六、相关知识

• 生产函数
• 边际产量
• 等产量曲线
• 等成本线
• 成本最小化

七、现实应用

1. 要素替代决策:企业根据MRTS和要素价格比选择投入组合
2. 技术选择:比较劳动密集型vs资本密集型技术
3. 自动化决策:评估用机器替代人工的可行性
4. 国际贸易:不同国家的要素禀赋影响MRTS
5. 环境经济学:分析清洁技术对污染技术的替代

八、小结

边际技术替代率衡量在保持产出不变时要素间的替代关系,等于边际产量之比。MRTS递减规律导致等产量曲线凸向原点。成本最小化时,MRTS等于要素价格比,这是企业要素需求分析的基础。