收益递减

一、核心定义

收益递减规律(Law of Diminishing Returns),也称边际产量递减规律,是指在短期生产中,当其他投入要素固定不变时,连续增加某一种可变要素的投入,该要素的边际产量最终会递减。

数学表达:对于生产函数 $q=f(K,L)$,固定资本 $K=\overline{K}$ 时:

$$\frac{{\partial }^{2}q}{\partial L^2}=\frac{{\partial }^{2}f(\overline{K},L)}{\partial L^2}<0\text{(当 }L\text{ 足够大时)}$$

这是短期现象,源于固定要素的约束。

二、理论推导 / 核心逻辑

产生原因:

1. 要素比例失衡:固定要素相对稀缺,可变要素相对过剩
2. 要素不完全替代:不同要素有各自的功能,不能完全互相替代
3. 协调成本:要素过多导致管理和协调困难

数学推导:

对于柯布-道格拉斯生产函数 $q=A{\overline{K}}^{\alpha }{L}^{\beta }$:

边际产量:

$$M{P}_L=\beta A{\overline{K}}^{\alpha }{L}^{\beta -1}$$

二阶导数:

$$\frac{\partial M{P}_L}{\partial L}=\beta (\beta -1)A{\overline{K}}^{\alpha }{L}^{\beta -2}$$

当 $0<\beta <1$ 时,$\frac{\partial M{P}_L}{\partial L}<0$,边际产量递减。

与规模报酬的区别:

• 收益递减:短期,部分要素固定
• 规模报酬:长期,所有要素按比例变化

三、关键结论

1. 收益递减是短期现象,源于固定要素约束
2. 边际产量先上升后下降,最终递减
3. 收益递减不等于规模报酬递减
4. 长期中所有要素可调整,收益递减不一定成立
5. 收益递减导致边际成本递增
6. 收益递减是供给曲线向右上方倾斜的原因之一

四、图形解释

总产量、边际产量曲线:

• TP曲线:S形

  • 初期:加速增长(边际产量递增)
  • 中期:减速增长(边际产量递减但为正)
  • 后期:绝对下降(边际产量为负)

• MP曲线:倒U形

  • 先上升(收益递增阶段)
  • 达到最大值(拐点)
  • 后下降(收益递减阶段)
  • 最终为负

三阶段划分:

• 第一阶段: $MP>AP$,不合理(固定要素利用不足)
• 第二阶段: $0<MP<AP$,合理生产区间
• 第三阶段: $MP<0$,不合理(可变要素过剩)

五、例子(现实或数值)

例子1:农业生产

固定1公顷土地,增加劳动投入:

劳动(人)	产量(吨)	$M{P}_L$	$A{P}_L$	阶段
1	3	3	3	I
2	8	5	4	I
3	15	7	5	I
4	20	5	5	II
5	24	4	4.8	II
6	27	3	4.5	II
7	28	1	4	II
8	28	0	3.5	III
9	27	-1	3	III

观察:

• $L=3$ 时边际产量最大
• $L=4$ 时平均产量最大,$MP=AP$
• $L\ge 8$ 时边际产量为负

例子2:生产函数

$$q=100L-5L^2,(L\le 10)$$

边际产量:

$$M{P}_L=100-10L$$

• $L<10$ 时,$M{P}_L>0$ 但递减
• $L=10$ 时,$M{P}_L=0$
• $L>10$ 时,$M{P}_L<0$

例子3:制造业

固定厂房和设备,增加工人:

• 1-5人:协作效率提高,边际产量递增
• 6-20人:边际产量递减但为正(正常生产)
• 21人以上:拥挤,边际产量接近零甚至为负

六、相关知识

• 边际产量
• 生产函数
• 规模经济
• 成本理论
• 供给曲线

七、现实应用

1. 要素雇佣:确定最优劳动投入量
2. 农业政策:分析化肥、灌溉的边际效益
3. 生产管理:避免过度雇佣导致效率下降
4. 资源配置:识别瓶颈要素,优化投入结构
5. 技术进步:通过技术创新延缓收益递减

八、小结

收益递减规律描述了短期生产中边际产量的递减趋势,源于固定要素的约束。这一规律解释了边际成本递增和供给曲线向右上方倾斜的原因。理解收益递减对于企业的短期生产决策和要素雇佣至关重要。