完美贝叶斯均衡

一、核心定义

完美贝叶斯均衡(Perfect Bayesian Equilibrium, PBE)是动态不完全信息博弈的解概念,要求参与者的策略在每个信息集上都是最优的,且信念通过贝叶斯法则从策略中推导出来。PBE是纳什均衡和子博弈完美均衡在不完全信息博弈中的扩展。

基本要素:

1. 策略:$s=(s_1,...,s_n)$,每个参与者的完整行动计划
2. 信念:$\mu$,在每个信息集上对节点的概率分布
3. 信息集:参与者无法区分的决策节点集合

数学表达:

完美贝叶斯均衡 $(s^{\ast },{\mu }^{\ast })$ 满足:

1. 序贯理性(Sequential Rationality):

   $$s_i^{\ast }\in \arg \underset{s_i}{max}E[u_i(s_i,s_{-i}^{\ast })|{\mu }^{\ast },h]$$

   对所有信息集 $h$ 和参与者 $i$

2. 信念一致性(Belief Consistency): 在均衡路径上,信念由贝叶斯法则确定:

   $${\mu }^{\ast }(x|h)=\frac{P(x|s^{\ast })\cdot P(h|x,s^{\ast })}{\sum _{x^{\prime }\in h}P(x^{\prime }|s^{\ast })\cdot P(h|x^{\prime },s^{\ast })}$$

二、理论推导 / 核心逻辑

与其他均衡概念的关系:

1. 纳什均衡:策略互为最优反应,但不要求序贯理性
2. 子博弈完美均衡:完全信息动态博弈,要求每个子博弈都是纳什均衡
3. 完美贝叶斯均衡:不完全信息动态博弈,要求序贯理性+信念一致性

PBE的求解步骤:

1. 识别信息集:确定参与者无法区分的节点
2. 指定策略:每个参与者在每个信息集的行动
3. 推导信念:使用贝叶斯法则(在均衡路径上)
4. 检验序贯理性:给定信念,策略是否最优
5. 检验一致性:信念是否由策略推导

贝叶斯法则应用:

假设信息集 $h$ 包含节点 $x_1,x_2$,参与者不知道在哪个节点。

先验概率:$P(x_1),P(x_2)$

观察到信号 $s$ 后,后验概率:

$$\mu (x_1|s)=\frac{P(s|x_1)\cdot P(x_1)}{P(s|x_1)\cdot P(x_1)+P(s|x_2)\cdot P(x_2)}$$

离均衡路径信念:

在均衡路径外,贝叶斯法则不适用,需要额外限制:

• 弱完美贝叶斯均衡:任意信念
• 序贯均衡:信念是完全混合策略的极限
• 直觉标准:排除不合理信念

三、关键结论

1. PBE要求策略在每个信息集上都是最优的(序贯理性)
2. 信念必须与策略一致(通过贝叶斯法则)
3. PBE是完全信息子博弈完美均衡的推广
4. PBE可能存在多重均衡
5. 离均衡路径信念的选择影响均衡结果
6. 精炼标准(如直觉标准)可减少均衡数量
7. PBE广泛应用于信号博弈、声誉模型、讨价还价等

四、图形解释

信息集示意图:

        自然(0.5/0.5)
       /              \
    类型1            类型2
      |                |
   发送者            发送者
    /  \              /  \
   L    R            L    R
   |    |            |    |
  接收者 接收者      接收者 接收者
  (信息集:无法区分来自类型1还是类型2)

贝叶斯更新:

• 先验:$P({\theta }_1)=P({\theta }_2)=0.5$
• 观察到信号 $m$
• 后验:$\mu ({\theta }_1|m)=\frac{P(m|{\theta }_1)\cdot 0.5}{P(m|{\theta }_1)\cdot 0.5+P(m|{\theta }_2)\cdot 0.5}$

序贯理性检验:

在每个信息集,给定信念 $\mu$,参与者选择最大化期望效用的行动。

五、例子(现实或数值)

例子1:啤酒-烈酒博弈(Beer-Quiche Game)

设定:

两种类型决斗者:

• 强硬型(Strong):比例 $p=0.1$
• 软弱型(Weak):比例 $1-p=0.9$

早餐选择(信号):

• 啤酒(Beer)
• 烈酒(Quiche)

偏好:

• 强硬型偏好啤酒
• 软弱型偏好烈酒

挑战者观察早餐,决定是否决斗(Duel)或不决斗(Not)

支付:

• 决斗者:避免决斗更好(如果软弱),决斗无所谓(如果强硬)
• 挑战者:只想与软弱型决斗

分离均衡:

策略:

• 强硬型选择啤酒
• 软弱型选择烈酒
• 挑战者:啤酒→不决斗,烈酒→决斗

信念:

• $\mu (\text{Strong}|\text{Beer})=1$
• $\mu (\text{Strong}|\text{Quiche})=0$

序贯理性:

• 强硬型:选择啤酒(偏好)且避免决斗 ✓
• 软弱型:选择烈酒(偏好)虽然引发决斗,但如果选啤酒会被认为强硬...

问题:软弱型有激励偏离到啤酒,假装强硬!

混同均衡:

策略:

• 两种类型都选择啤酒
• 挑战者:啤酒→不决斗,烈酒→决斗

信念:

• $\mu (\text{Strong}|\text{Beer})=0.1$
• $\mu (\text{Strong}|\text{Quiche})\ge 0.5$(离均衡路径)

序贯理性:

• 挑战者看到啤酒:期望对手强硬概率0.1,不决斗 ✓
• 软弱型:选啤酒避免决斗,虽然不喜欢啤酒 ✓
• 强硬型:选啤酒(偏好) ✓

这是PBE!

例子2:市场进入博弈

设定:

在位企业类型:

• 强势(Strong):成本低,比例 $q=0.3$
• 弱势(Weak):成本高,比例 $1-q=0.7$

进入者观察在位企业的产量 $Q$,决定进入或不进入

支付:

• 强势企业:高产量成本低
• 弱势企业:高产量成本高
• 进入者:只想在对手弱势时进入

分离均衡:

策略:

• 强势:$Q_H=100$
• 弱势:$Q_L=60$
• 进入者:$Q\ge 80\Rightarrow$ 不进入,$Q<80\Rightarrow$ 进入

信念:

• $\mu (\text{Strong}|Q=100)=1$
• $\mu (\text{Strong}|Q=60)=0$

序贯理性:

• 强势选择100(利润最大化且阻止进入) ✓
• 弱势选择60(高产量成本太高) ✓
• 进入者根据产量推断类型 ✓

例子3:教育信号(简化版)

设定:

工人类型:

• 高能力:${\theta }_H$,生产率 $y_H=100$,比例 $0.6$
• 低能力:${\theta }_L$,生产率 $y_L=60$,比例 $0.4$

教育成本:

• 高能力:$c_H(e)=e$
• 低能力:$c_L(e)=2e$

雇主观察教育 $e$,提供工资 $w(e)$

分离均衡:

策略:

• 高能力:$e_H=50$
• 低能力:$e_L=0$
• 雇主:$w(50)=100$,$w(0)=60$

信念:

• $\mu ({\theta }_H|e=50)=1$
• $\mu ({\theta }_H|e=0)=0$

激励相容:

• 高能力:$100-50=50\ge 60$ ✗

需要调整!$e_H=40$:

• 高能力:$100-40=60=60$ (无差异)
• 低能力:$60>100-80=20$ ✓

例子4:讨价还价(不完全信息)

设定:

卖家成本:

• 低成本:$c_L=20$,比例 $p=0.5$
• 高成本:$c_H=50$,比例 $1-p=0.5$

买家估值:$v=100$

卖家先报价 $p$,买家接受或拒绝

分离均衡:

策略:

• 低成本:$p_L=60$
• 高成本:$p_H=80$
• 买家:接受 $p\le 80$

信念:

• $\mu (c_L|p=60)=1$
• $\mu (c_L|p=80)=0$

序贯理性:

• 低成本:$60-20=40$(不模仿高成本:$80-20=60$)✗

低成本有激励模仿高成本!

混同均衡:

策略:

• 两种类型都报价 $p=75$
• 买家:接受

信念:

• $\mu (c_L|p=75)=0.5$

序贯理性:

• 买家:$v=100>75$,接受 ✓
• 低成本:$75-20=55$(偏离到60:买家可能拒绝)✓
• 高成本:$75-50=25$ ✓

例子5:声誉模型

设定:

企业类型:

• 诚实型:总是高质量
• 机会型:选择高或低质量

消费者观察历史质量,决定购买

均衡:

早期:机会型模仿诚实型(建立声誉)

后期:机会型提供低质量(收割声誉)

信念:观察到高质量,更新诚实型概率上升

六、相关知识

• 纳什均衡
• 子博弈完美均衡
• 信号博弈
• 信息不对称
• 贝叶斯博弈

七、现实应用

1. 市场竞争:

   • 进入阻止
   • 掠夺性定价
   • 产能投资信号

2. 劳动市场:

   • 教育信号
   • 工作经验
   • 试用期

3. 金融市场:

   • IPO定价
   • 信用评级
   • 股利政策

4. 国际关系:

   • 军事威慑
   • 外交信号
   • 谈判策略

5. 法律与监管:

   • 诉讼威胁
   • 合规信号
   • 审计

八、小结

完美贝叶斯均衡是动态不完全信息博弈的核心解概念,要求策略序贯理性和信念一致性。PBE通过贝叶斯法则将观察到的行动与参与者类型联系起来,使参与者能够从对手的行为中学习。PBE是纳什均衡和子博弈完美均衡的推广,广泛应用于信号博弈、声誉模型、讨价还价等领域。理解PBE对于分析信息不对称下的策略互动至关重要。