等成本线

一、核心定义

等成本线(Isocost Line)表示在给定要素价格下,企业用固定成本能够购买的所有要素组合。对于资本和劳动两种要素:

$$rK+wL=C$$

其中:

• $r$:资本的租金率(价格)
• $w$:劳动的工资率(价格)
• $K,L$:资本和劳动投入量
• $C$:总成本

改写为斜截式:

$$K=\frac{C}{r}-\frac{w}{r}L$$

二、理论推导 / 核心逻辑

等成本线的性质:

1. 截距:

   • 纵轴截距(全部购买资本): $\frac{C}{r}$
   • 横轴截距(全部购买劳动): $\frac{C}{w}$

2. 斜率:

   $$\text{slope}=-\frac{w}{r}$$

   等于要素价格比的负值,表示市场上劳动与资本的交换比率。

3. 平行移动:

   • 成本增加:等成本线向右上方平行移动
   • 成本减少:等成本线向左下方平行移动

4. 旋转:

   • 工资上升:等成本线以纵轴截距为支点顺时针旋转(变陡)
   • 租金上升:等成本线以横轴截距为支点逆时针旋转(变平)

三、关键结论

1. 等成本线斜率等于要素价格比的负值
2. 成本变化导致等成本线平行移动
3. 要素价格变化导致等成本线旋转
4. 等成本线与等产量曲线的切点是成本最小化点
5. 切点条件: $MRTS=\frac{w}{r}$
6. 等成本线是线性的(要素价格恒定)

四、图形解释

在 $(L,K)$ 平面上:

• 等成本线:斜率为 $-w/r$ 的直线
• 截距:与坐标轴的交点表示全部购买单一要素的数量
• 等成本线族:不同成本水平的平行直线

成本最小化图示:

• 给定产出 $\overline{q}$,找最低的等成本线与等产量曲线 $IQ(\overline{q})$ 相切
• 切点 $(L^{\ast },K^{\ast })$ 是成本最小化的要素组合
• 切点处: $MRTS=w/r$

五、例子(现实或数值)

例子1:基本等成本线

工资 $w=10$ 元/小时,租金 $r=20$ 元/小时,成本 $C=1000$ 元

等成本线: $20K+10L=1000$

改写: $K=50-0.5L$

• 纵轴截距: $50$ (全部租资本)
• 横轴截距: $100$ (全部雇劳动)
• 斜率: $-0.5$ (1单位劳动换0.5单位资本)

例子2:成本变化

成本从 $C=1000$ 增至 $C=1500$,价格不变:

新等成本线: $K=75-0.5L$

平行外移,斜率不变,截距增加50%。

例子3:工资变化

工资从 $w=10$ 升至 $w=15$,租金和成本不变:

新等成本线: $K=50-0.75L$

• 纵轴截距不变($50$)
• 横轴截距减少到 $66.7$
• 斜率变陡(从$-0.5$到$-0.75$)

例子4:成本最小化

生产函数: $q=K^{0.5}{L}^{0.5}$,目标产出 $q=20$

要素价格: $w=5,r=10$

等产量曲线: $K=\frac{400}{L}$

等成本线: $K=\frac{C}{10}-0.5L$

切点条件:

$$MRTS=\frac{K}{L}=\frac{w}{r}=0.5\Rightarrow K=0.5L$$

结合等产量曲线:

$$0.5L=\frac{400}{L}\Rightarrow L^{\ast }=28.3,K^{\ast }=14.1$$

最小成本:

$$C^{\ast }=10\times 14.1+5\times 28.3=282.8$$

六、相关知识

• 等产量曲线
• 边际技术替代率
• 成本理论
• 成本最小化
• 要素需求

七、现实应用

1. 生产决策:企业选择成本最低的要素组合
2. 外包分析:比较自产与外包的成本
3. 自动化决策:工资上升促使企业增加资本投入
4. 区位选择:不同地区要素价格影响生产布局
5. 劳动政策:最低工资法如何改变要素组合

八、小结

等成本线表示给定成本下企业可购买的所有要素组合,其斜率由要素价格比决定。成本最小化时,等成本线与等产量曲线相切,此时MRTS等于要素价格比。理解等成本线是分析企业要素需求和成本结构的基础。