需求函数

一、核心定义

需求函数(Demand Function)描述了消费者对某种商品的需求量与影响需求的各种因素之间的函数关系。一般形式为:

$$x_i=D_i(p_1,p_2,\dots ,p_n,m)$$

其中 $x_i$ 是商品 $i$ 的需求量,$p_j$ 是各商品价格,$m$ 是收入。

马歇尔需求函数(Marshallian Demand):从效用最大化问题导出:

$$\underset{x}{max}u(x)\text{s.t. }p\cdot x\le m$$

解得: $x^{\ast }(p,m)$

希克斯补偿需求函数(Hicksian Compensated Demand):从支出最小化问题导出:

$$\underset{x}{min}p\cdot x\text{s.t. }u(x)\ge \overline{u}$$

解得: $x^H(p,\overline{u})$

二、理论推导 / 核心逻辑

从最优化导出需求函数:

以柯布-道格拉斯效用 $u(x_1,x_2)=x_1^{\alpha }{x}_2^{1-\alpha }$ 为例:

拉格朗日函数:

$$\mathcal{L}=x_1^{\alpha }{x}_2^{1-\alpha }+\lambda (m-p_1{x}_1-p_2{x}_2)$$

一阶条件:

$$\alpha x_1^{\alpha -1}{x}_2^{1-\alpha }=\lambda p_1$$$$(1-\alpha )x_1^{\alpha }{x}_2^{-\alpha }=\lambda p_2$$

两式相除:

$$\frac{\alpha x_2}{(1-\alpha )x_1}=\frac{p_1}{p_2}$$

结合预算约束,解得需求函数:

$$x_1^{\ast }(p_1,p_2,m)=\frac{\alpha m}{p_1}$$$$x_2^{\ast }(p_1,p_2,m)=\frac{(1-\alpha )m}{p_2}$$

需求函数的性质:

1. 齐次性(Homogeneity):零次齐次

   $$x^{\ast }(tp,tm)=x^{\ast }(p,m),\mathrm{\forall }t>0$$

2. 瓦尔拉斯法则(Walras' Law):

   $$p\cdot x^{\ast }(p,m)=m$$

3. 对称性(Symmetry):斯勒茨基矩阵对称

   $$\frac{\partial x_i^H}{\partial p_j}=\frac{\partial x_j^H}{\partial p_i}$$

4. 负半定性:斯勒茨基矩阵负半定

三、关键结论

1. 需求函数是效用最大化的结果
2. 马歇尔需求包含收入效应和替代效应
3. 希克斯需求只包含替代效应
4. 需求函数对所有价格和收入零次齐次(无货币幻觉)
5. 正常品需求随收入增加而增加
6. 需求法则:价格上升,需求下降(吉芬品除外)

四、图形解释

需求曲线:

• 横轴:商品数量 $x$
• 纵轴:价格 $p$
• 曲线:通常向右下方倾斜
• 推导:从价格-消费曲线(PCC)导出

需求曲线的移动:

• 收入变化:整条曲线移动
  • 正常品:收入增加,曲线右移
  • 劣等品:收入增加,曲线左移
• 其他商品价格变化:
  • 替代品价格上升:曲线右移
  • 互补品价格上升:曲线左移

反需求函数:

• 将需求函数改写为 $p=P(x)$
• 几何上是需求曲线本身
• 用于计算消费者剩余

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯需求

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1^{0.6}{x}_2^{0.4}$

需求函数:

$$x_1^{\ast }=\frac{0.6m}{p_1},x_2^{\ast }=\frac{0.4m}{p_2}$$

特点:

• 对自身价格弹性为-1
• 收入弹性为1
• 支出份额恒定(0.6和0.4)

数值例子: $p_1=5,p_2=2,m=100$

$$x_1^{\ast }=\frac{0.6\times 100}{5}=12,x_2^{\ast }=\frac{0.4\times 100}{2}=20$$

例子2:完全替代品需求

效用函数: $u(x_1,x_2)=a{x}_1+b{x}_2$

需求函数(角点解):

$$x_1^{\ast }=\{\begin{array}{ll}\frac{m}{p_1},& \text{if }\frac{p_1}{a}<\frac{p_2}{b}\\ [0,\frac{m}{p_1}],& \text{if }\frac{p_1}{a}=\frac{p_2}{b}\\ 0,& \text{if }\frac{p_1}{a}>\frac{p_2}{b}\end{array}$$

全部购买单位效用价格更低的商品。

例子3:完全互补品需求

效用函数: $u(x_1,x_2)=min\{a{x}_1,b{x}_2\}$

最优时 $a{x}_1=b{x}_2$,结合预算约束:

$$x_1^{\ast }=\frac{m}{p_1+\frac{b}{a}{p}_2},x_2^{\ast }=\frac{m}{\frac{a}{b}{p}_1+p_2}$$

例如左右脚鞋($a=b=1$): $x_1^{\ast }=x_2^{\ast }=\frac{m}{p_1+p_2}$

例子4:拟线性需求

效用函数: $u(x_1,x_2)=\ln x_1+x_2$

需求函数:

$$x_1^{\ast }=\frac{p_2}{p_1},x_2^{\ast }=m-\frac{p_2^2}{p_1}$$

特点: $x_1^{\ast }$ 不随收入变化(收入效应为零)

六、相关知识

• 最优消费选择
• 需求弹性
• 价格效应
• 收入效应
• 市场需求
• 消费者剩余

七、现实应用

1. 市场预测:企业根据需求函数预测销量
2. 定价策略:利用需求弹性制定最优价格
3. 税收分析:评估税收对需求和福利的影响
4. 补贴政策:设计有效的补贴方案
5. 需求估计:通过计量经济学估计需求参数

八、小结

需求函数描述了价格、收入与需求量之间的关系,是消费者最优化的结果。马歇尔需求函数包含替代效应和收入效应,满足齐次性和瓦尔拉斯法则。不同效用函数导出不同形式的需求函数,理解需求函数是进行市场分析和政策评估的基础。