囚徒困境

一、核心定义

囚徒困境(Prisoner's Dilemma)是博弈论中最著名的博弈,展示了个体理性与集体理性的冲突。在囚徒困境中,每个参与者都有占优策略,但占优策略均衡导致的结果对双方都不如合作结果。

经典故事:

两个嫌疑人被分开审讯,各有两个选择:

• 坦白(Confess, C):背叛同伙
• 抵赖(Deny, D):保持沉默

支付矩阵(刑期,负数表示效用):

	C	D
C	-5,-5	0,-10
D	-10,0	-1,-1

占优策略均衡:

无论对方选择什么,坦白总是更优:

• 对方C:自己C(-5) > D(-10)
• 对方D:自己C(0) > D(-1)

因此 $(C,C)$ 是唯一纳什均衡,但 $(D,D)$ 对双方都更好(帕累托改进)。

二、理论推导 / 核心逻辑

一般形式:

支付矩阵:

	合作(C)	背叛(D)
合作(C)	$R,R$	$S,T$
背叛(D)	$T,S$	$P,P$

囚徒困境的条件:

$$T>R>P>S$$$$2R>T+S$$

其中:

• $T$:背叛诱惑(Temptation)
• $R$:合作回报(Reward)
• $P$:惩罚(Punishment)
• $S$:受骗支付(Sucker's payoff)

占优策略:

对于参与者1:

• 对方C时:$T>R$ (背叛更优)
• 对方D时:$P>S$ (背叛更优)

背叛是严格占优策略。

纳什均衡:

$(D,D)$ 是唯一纳什均衡,支付 $(P,P)$。

帕累托效率:

$(C,C)$ 帕累托优于 $(D,D)$,因为 $R>P$。

但个体理性导致帕累托次优结果。

三、关键结论

1. 囚徒困境有唯一纳什均衡(双方背叛)
2. 纳什均衡不是帕累托最优
3. 个体理性导致集体非理性
4. 占优策略均衡可能导致次优结果
5. 重复博弈可能实现合作
6. 沟通和承诺机制可以改善结果

四、图形解释

支付矩阵图:

标准2×2矩阵,用下划线标出最优反应:

	C	D
C	3,3	0,5
D	5,0	1,1

双重下划线的格子是纳什均衡。

帕累托前沿:

在支付空间中:

• $(C,C)$:$(3,3)$ 在帕累托前沿上
• $(D,D)$:$(1,1)$ 在帕累托前沿内部
• $(C,D)$:$(0,5)$ 在帕累托前沿上
• $(D,C)$:$(5,0)$ 在帕累托前沿上

五、例子(现实或数值)

例子1:经典囚徒困境

支付(效用):

	C	D
C	3,3	0,5
D	5,0	1,1

满足 $T=5>R=3>P=1>S=0$ 和 $2R=6>T+S=5$。

纳什均衡:$(D,D)$,支付 $(1,1)$

帕累托最优:$(C,C)$,支付 $(3,3)$

例子2:军备竞赛

两国选择:军备(A)或裁军(D)

	D	A
D	3,3	0,4
A	4,0	1,1

纳什均衡:$(A,A)$ 双方军备,支付 $(1,1)$

合作结果:$(D,D)$ 双方裁军,支付 $(3,3)$ 更优

例子3:价格战

两企业选择:高价(H)或低价(L)

	H	L
H	100,100	20,120
L	120,20	50,50

纳什均衡:$(L,L)$ 价格战,利润 $(50,50)$

合谋结果:$(H,H)$ 高价,利润 $(100,100)$ 更优

但每个企业都有降价动机(背叛诱惑)。

例子4:公共物品供给

两人决定是否贡献公共物品:

	贡献	不贡献
贡献	4,4	1,6
不贡献	6,1	2,2

纳什均衡:双方都不贡献,支付 $(2,2)$

社会最优:双方都贡献,支付 $(4,4)$

这解释了公共物品供给不足的问题。

例子5:环境污染

两国选择:减排(R)或污染(P)

	R	P
R	50,50	20,60
P	60,20	30,30

纳什均衡:$(P,P)$ 双方污染

合作结果:$(R,R)$ 双方减排更优

需要国际协议和执行机制。

六、相关知识

• 纳什均衡
• 占优策略
• 重复博弈
• 帕累托效率
• 公共物品

七、现实应用

1. 寡头竞争:企业间的价格战、产量竞争
2. 国际关系:军备竞赛、贸易保护
3. 环境政策:国家间的减排博弈
4. 公共物品:搭便车问题
5. 团队合作:偷懒与努力的选择

八、小结

囚徒困境揭示了个体理性与集体理性的冲突,占优策略均衡导致帕累托次优结果。囚徒困境广泛存在于经济、政治和社会生活中,解决方法包括重复博弈、声誉机制、惩罚机制和制度设计。理解囚徒困境对于分析合作问题和设计激励机制至关重要。