伯特兰模型

一、核心定义

伯特兰模型(Bertrand Model)是分析寡头价格竞争的经典模型,由法国数学家约瑟夫·伯特兰(Joseph Bertrand)于1883年提出。模型假设企业同时选择价格作为策略变量,与古诺模型的产量竞争形成对比。

核心假设:

价格竞争:企业选择价格,而非产量
同质产品:所有企业生产相同产品
同时决策:企业同时独立设定价格
完全信息:企业知道市场需求和对手成本
产能充足:企业可满足任何需求

伯特兰悖论(Bertrand Paradox):

即使只有两家企业,价格竞争导致价格等于边际成本,结果类似完全竞争,企业利润为零。

二、理论推导 / 核心逻辑

需求分配规则:

消费者购买价格最低的产品:

q_{i} = {\begin{cases} D (p_{i}), & if p_{i} < p_{j} \\ D (p_{i}) / 2, & if p_{i} = p_{j} \\ 0, & if p_{i} > p_{j} \end{cases}

最优反应:

给定对手价格 $p_{j}$ :

若 $p_{j} > c$ :设定 $p_{i} = p_{j} - ϵ$ (略低,获得全部市场)
若 $p_{j} = c$ :无利可图
若 $p_{j} < c$ :不生产

纳什均衡:

唯一纳什均衡: $p_{1}^{*} = p_{2}^{*} = c$ (边际成本)

证明:

若 $p_{i} > c$ ,对手可降价抢占市场
若 $p_{i} < c$ ,亏损,不如不生产
只有 $p_{i} = c$ 时,无偏离动机

伯特兰悖论:

两家企业,价格等于边际成本,利润为零,类似完全竞争!

这与古诺模型(正利润)形成鲜明对比。

产品差异化:

若产品有差异,伯特兰悖论消失:

需求函数:

q_{1} = a - b p_{1} + d p_{2}

q_{2} = a - b p_{2} + d p_{1}

均衡价格:

p_{1}^{*} = p_{2}^{*} = \frac{a + b c}{b - d}

价格高于边际成本,有正利润。

三、关键结论

同质产品伯特兰竞争导致价格等于边际成本
两家企业足以产生完全竞争结果(伯特兰悖论)
产品差异化缓解价格竞争
产能约束改变均衡
伯特兰竞争比古诺竞争更激烈
现实中伯特兰悖论很少出现

四、图形解释

反应函数图:

横轴:企业1价格 $p_{1}$
纵轴:企业2价格 $p_{2}$

反应函数:

$p_{2} > c$ : $p_{1} = p_{2} - ϵ$
$p_{2} \leq c$ : $p_{1} = c$

均衡: $(c, c)$

价格动态调整:

初始价格高 → 对手降价抢市场 → 价格螺旋下降 → 直到 $p = c$

产品差异化:

反应函数向右上方倾斜,均衡价格 $> c$

五、例子(现实或数值)

例子1:同质产品伯特兰

市场需求: $Q = 100 - p$

两家企业,边际成本 $c = 10$

伯特兰均衡:

p_{1}^{*} = p_{2}^{*} = 10

总产量: $Q = 90$

利润: $π_{1} = π_{2} = 0$

比较古诺(相同参数):

古诺: $p = 40, Q = 60, π_{i} = 900$
伯特兰: $p = 10, Q = 90, π_{i} = 0$

伯特兰竞争更激烈!

例子2:不对称成本

企业1: $c_{1} = 10$ 企业2: $c_{2} = 20$

需求: $Q = 100 - p$

均衡:

p_{1}^{*} = 20 - ϵ, p_{2}^{*} = 20

企业1设定略低于企业2成本的价格,获得全部市场:

π_{1} = (20 - 10) \times 80 = 800

π_{2} = 0

低成本企业获得全部利润。

例子3:产品差异化

需求:

q_{1} = 100 - 2 p_{1} + p_{2}

q_{2} = 100 - 2 p_{2} + p_{1}

成本: $c = 10$

最优反应:

p_{1} = \frac{100 + 10 \times 2 + p_{2}}{2 \times 2} = \frac{120 + p_{2}}{4}

对称均衡:

p^{*} = \frac{120 + p^{*}}{4}

3 p^{*} = 120

p^{*} = 40

产量: $q^{*} = 100 - 80 + 40 = 60$

利润: $π^{*} = (40 - 10) \times 60 = 1800$

产品差异化消除了伯特兰悖论!

例子4:产能约束

企业1和2各有产能 $K = 40$

需求: $Q = 100 - p$

成本: $c = 10$

若两家都定价 $p = 10$ :

总需求: $90$
总产能: $80$
供不应求

均衡:

p^* = 20$$(使需求 $= 80$) 利润: $\pi_i = (20 - 10) \times 40 = 400$ 产能约束缓解价格竞争。 **例子5:现实案例 - 在线零售** 电商价格战: - 产品同质(如图书、电子产品) - 价格透明,易比较 - 产能充足 结果: - 价格接近成本 - 利润微薄 - 类似伯特兰竞争 例:京东vs天猫价格战 **例子6:航空业** 同一航线,同一时间: - 产品高度同质 - 价格竞争激烈 - 但产能有限(座位数) 结果: - 价格低但不至于成本价 - 产能约束缓解竞争 **例子7:加油站** 相邻加油站: - 汽油同质 - 价格竞争 - 但有地理差异(便利性) 结果: - 价格接近但略有差异 - 位置差异化缓解竞争 ## 六、相关知识 - [古诺模型](/microeconomics/market/cournot) - [斯塔克伯格模型](/microeconomics/market/stackelberg) - [寡头](/microeconomics/market/oligopoly) - [纳什均衡](/microeconomics/game/nash-equilibrium) - [产品差异化](/microeconomics/product-differentiation) ## 七、现实应用 1. **价格竞争分析**:理解价格战动态 2. **产品差异化策略**:避免激烈价格竞争 3. **产能规划**:产能约束影响定价 4. **电商定价**:在线市场的价格竞争 5. **反垄断**:评估价格竞争强度 ## 八、小结 伯特兰模型分析寡头价格竞争,同质产品下导致价格等于边际成本(伯特兰悖论),类似完全竞争。产品差异化和产能约束可缓解价格竞争,产生正利润。伯特兰模型揭示了价格竞争的激烈性,对理解电商、零售等行业的价格战至关重要。

伯特兰模型 ​

一、核心定义 ​

二、理论推导 / 核心逻辑 ​

三、关键结论 ​