效用函数

一、核心定义

效用函数(Utility Function)是将消费束映射到实数的函数 $u:X\to \mathbb{R}$,用于表示消费者的偏好关系。对于任意两个消费束 $x$ 和 $y$:

$$x\succsim y\iff u(x)\ge u(y)$$

效用函数是序数(Ordinal)概念,只有排序意义,数值大小本身无实际含义。任何单调递增变换 $f(u)$ (其中 $f^{\prime }>0$)都表示相同的偏好。

二、理论推导 / 核心逻辑

效用表示定理:若偏好关系 $\succsim$ 满足完备性、传递性和连续性,则存在连续效用函数 $u$ 表示该偏好。

单调变换不变性:若 $u(x)$ 表示某偏好,则对任意严格单调递增函数 $f$,$v(x)=f(u(x))$ 表示相同偏好。

例如,若 $u(x_1,x_2)=x_1{x}_2$,则以下函数表示相同偏好:

• $v(x_1,x_2)=\ln (x_1{x}_2)=\ln x_1+\ln x_2$
• $w(x_1,x_2)=(x_1{x}_2{)}^2$

准线性效用:形式为 $u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2$,其中 $v$ 严格凹。特点是对商品2的边际效用恒为1。

位似效用:满足 $u(tx)=t^{k}u(x)$ 对所有 $t>0$。柯布-道格拉斯效用是典型例子。

三、关键结论

1. 效用是序数概念,只有排序意义
2. 效用函数不唯一,单调变换保持偏好
3. 常见效用函数形式:柯布-道格拉斯、CES、拟线性、完全替代、完全互补
4. 效用函数的凹性反映了风险态度
5. 边际效用递减是常见假设,但非必需
6. 可加性效用(如 $u=u_1(x_1)+u_2(x_2)$)意味着商品间无互补性

四、图形解释

效用函数的图形表示:

• 三维图:在 $(x_1,x_2,u)$ 空间中,效用函数是一个曲面
• 等高线:曲面的等高线投影到 $(x_1,x_2)$ 平面即为无差异曲线
• 曲面形状:凹函数对应凸向原点的无差异曲线

不同效用函数的无差异曲线:

• 柯布-道格拉斯:双曲线形
• 完全替代:直线
• 完全互补:L形
• CES:介于直线和L形之间

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯效用

$$u(x_1,x_2)=x_1^{\alpha }{x}_2^{1-\alpha },0<\alpha <1$$

或对数形式: $v(x_1,x_2)=\alpha \ln x_1+(1-\alpha )\ln x_2$

参数 $\alpha$ 表示对商品1的偏好强度。

例子2:CES效用

$$u(x_1,x_2)=(x_1^{\rho }+x_2^{\rho }{)}^{1/\rho },\rho \le 1,\rho \ne 0$$

替代弹性 $\sigma =\frac{1}{1-\rho }$:

• $\rho \to -\mathrm{\infty }$:完全互补 (Leontief)
• $\rho =0$:柯布-道格拉斯 (取极限)
• $\rho =1$:完全替代

例子3:拟线性效用

$$u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+x_2$$

对商品1边际效用递减,对商品2边际效用恒为1。常用于分析收入效应为零的情况。

数值例子: 若 $u(x_1,x_2)=x_1^{0.6}{x}_2^{0.4}$,则:

• $u(10,20)={10}^{0.6}\times {20}^{0.4}\approx 13.57$
• $u(20,10)={20}^{0.6}\times {10}^{0.4}\approx 12.57$

消费者偏好 $(10,20)$ 胜过 $(20,10)$。

六、相关知识

• 偏好
• 无差异曲线
• 边际效用
• 最优消费选择
• 需求函数

七、现实应用

1. 需求分析:从效用函数推导需求函数
2. 福利测度:使用补偿变化(CV)和等价变化(EV)评估政策
3. 风险决策:冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数分析不确定性下的选择
4. 时间偏好:跨期效用函数分析储蓄和消费决策
5. 实验经济学:通过选择实验估计效用函数参数

八、小结

效用函数是偏好的数值表示,为消费者理论提供了数学分析工具。效用是序数概念,函数形式不唯一。常见的效用函数(如柯布-道格拉斯、CES)具有不同的替代弹性和数学性质,适用于不同的经济分析场景。