边际效用

一、核心定义

边际效用(Marginal Utility, MU)是指消费者增加一单位某种商品的消费所带来的效用增量。对于效用函数 $u(x_1,x_2,\dots ,x_n)$,商品 $i$ 的边际效用为:

$$M{U}_i=\frac{\partial u}{\partial x_i}$$

在离散情况下,边际效用可表示为:

$$M{U}_i=\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }{x}_i}=u(x_1,\dots ,x_i+1,\dots ,x_n)-u(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)$$

二、理论推导 / 核心逻辑

边际效用递减规律(Law of Diminishing Marginal Utility):在其他商品消费量不变的情况下,随着某种商品消费量的增加,其边际效用递减。数学表达:

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}<0$$

边际效用与边际替代率的关系:

边际替代率等于两种商品边际效用之比:

$$MR{S}_{12}=\frac{M{U}_1}{M{U}_2}$$

推导:沿无差异曲线,$du=0$,因此:

$$M{U}_{1}d{x}_1+M{U}_{2}d{x}_2=0\Rightarrow \frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{M{U}_1}{M{U}_2}$$

等边际原理(Equimarginal Principle):消费者最优时,每单位货币支出在各商品上的边际效用相等:

$$\frac{M{U}_1}{p_1}=\frac{M{U}_2}{p_2}=\cdots =\frac{M{U}_n}{p_n}=\lambda$$

其中 $\lambda$ 是货币的边际效用(拉格朗日乘数)。

三、关键结论

1. 边际效用是效用函数的一阶偏导数
2. 边际效用递减是常见但非必需的假设
3. 边际替代率等于边际效用之比
4. 最优消费时,单位货币的边际效用在各商品上相等
5. 边际效用的绝对值无意义,只有比值有意义(序数效用)
6. 边际效用为零时,总效用达到最大(饱和点)

四、图形解释

总效用与边际效用曲线:

• 横轴:商品数量 $x$
• 纵轴:效用 $u$ 或边际效用 $MU$
• 总效用曲线:递增但增速递减(凹函数)
• 边际效用曲线:向右下方倾斜(递减)
• 关系:边际效用是总效用曲线的斜率

多商品情况:

• 在 $(x_1,x_2)$ 平面上,边际效用无法直接图示
• 但可通过无差异曲线的斜率(MRS)间接反映

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯效用

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1^{0.4}{x}_2^{0.6}$

边际效用:

$$M{U}_1=0.4x_1^{-0.6}{x}_2^{0.6},M{U}_2=0.6x_1^{0.4}{x}_2^{-0.4}$$

当 $x_1=10,x_2=20$ 时:

$$M{U}_1=0.4\times {10}^{-0.6}\times {20}^{0.6}\approx 0.543$$$$M{U}_2=0.6\times {10}^{0.4}\times {20}^{-0.4}\approx 0.407$$

例子2:边际效用递减

效用函数: $u(x)=100\sqrt{x}$

边际效用: $MU=\frac{50}{\sqrt{x}}$

$x$	$u(x)$	$MU$
1	100	50
4	200	25
9	300	16.7
16	400	12.5

随着消费量增加,边际效用递减。

例子3:等边际原理应用

消费者收入 $m=100$,商品价格 $p_1=2,p_2=5$,效用函数 $u=x_1^{0.5}{x}_2^{0.5}$。

最优条件:

$$\frac{M{U}_1}{p_1}=\frac{M{U}_2}{p_2}\Rightarrow \frac{0.5x_1^{-0.5}{x}_2^{0.5}}{2}=\frac{0.5x_1^{0.5}{x}_2^{-0.5}}{5}$$

解得: $x_2=0.4x_1$

结合预算约束 $2x_1+5x_2=100$,得 $x_1^{\ast }=25,x_2^{\ast }=10$。

六、相关知识

• 效用函数
• 无差异曲线
• 最优消费选择
• 需求函数
• 消费者剩余

七、现实应用

1. 定价策略:企业根据边际效用递减设计数量折扣
2. 税收政策:累进税制基于货币边际效用递减原理
3. 时间分配:个人在工作、学习、娱乐间分配时间遵循等边际原理
4. 资源配置:企业在不同项目间分配预算使边际收益相等
5. 成瘾行为:某些商品(如毒品)可能表现出边际效用递增

八、小结

边际效用衡量额外一单位消费的效用增量,是消费者最优化的核心概念。边际效用递减规律解释了需求曲线向右下方倾斜。等边际原理指出,最优消费时每单位货币在各商品上的边际效用相等,这是推导需求函数的基础。