等产量曲线

一、核心定义

等产量曲线(Isoquant)是在要素空间中,所有能够生产相同产出水平的要素组合的轨迹。对于生产函数 $q=f(K,L)$,产出为 $\overline{q}$ 的等产量曲线为:

$$IQ(\overline{q})=\{(K,L):f(K,L)=\overline{q}\}$$

等产量曲线是生产函数的等高线,类似于消费者理论中的无差异曲线。

二、理论推导 / 核心逻辑

等产量曲线的斜率为边际技术替代率的负值:

$$\text{slope}=\frac{dK}{dL}{|}_{q=\overline{q}}=-MRT{S}_{LK}=-\frac{M{P}_L}{M{P}_K}$$

等产量曲线的性质:

1. 单调性:向右下方倾斜(两要素边际产量为正)
2. 凸性:凸向原点(MRTS递减)
3. 不相交:不同产出水平的等产量曲线不相交
4. 密度:离原点越远,产出越高

等产量曲线族:

一组不同产出水平的等产量曲线构成等产量曲线族,完整描述了生产技术。

三、关键结论

1. 等产量曲线是生产函数的图形表示
2. 曲线斜率(绝对值)等于MRTS
3. 凸向原点反映要素间有限替代性
4. 不同生产函数对应不同形状的等产量曲线
5. 等产量曲线与等成本线的切点是成本最小化点
6. 等产量曲线的形状决定要素替代弹性

四、图形解释

在 $(L,K)$ 平面上:

• 曲线:向右下方倾斜的凸曲线
• 曲线族:多条平行曲线,越靠右上方产出越高
• 斜率:任意点的斜率为 $-MRTS$

特殊形状:

• 柯布-道格拉斯:双曲线形,平滑凸向原点
• 完全替代:直线(斜率恒定)
• 完全互补:L形(直角)
• CES:曲率介于上述之间

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯

$$q=K^{0.5}{L}^{0.5}$$

产出 $q=10$ 的等产量曲线:

$$K^{0.5}{L}^{0.5}=10\Rightarrow K=\frac{100}{L}$$

$L$	$K$
4	25
10	10
25	4

双曲线形,MRTS随 $L$ 增加而递减。

例子2:完全替代

$$q=2K+3L$$

产出 $q=60$ 的等产量曲线:

$$2K+3L=60\Rightarrow K=30-1.5L$$

直线,斜率 $-1.5$,MRTS恒为1.5。

例子3:完全互补

$$q=min\{K,2L\}$$

产出 $q=20$ 的等产量曲线:

• 当 $K\ge 40$ 且 $L=10$ 时,或
• 当 $L\ge 10$ 且 $K=20$ 时

L形,拐点在 $(L=10,K=20)$。

六、相关知识

• 生产函数
• 边际技术替代率
• 等成本线
• 成本最小化
• 规模经济

七、现实应用

1. 生产计划:选择最优要素组合
2. 技术比较:不同技术对应不同等产量曲线
3. 要素替代分析:评估自动化、外包等决策
4. 成本控制:在等产量曲线上找成本最低点
5. 生产效率:识别技术无效率(在等产量曲线内部)

八、小结

等产量曲线是生产函数的图形表示,描述了生产相同产出的所有要素组合。曲线的斜率反映要素间的技术替代关系,形状决定替代弹性。等产量曲线与等成本线的分析是企业成本最小化和要素需求理论的基础。