斯塔克伯格模型

一、核心定义

斯塔克伯格模型(Stackelberg Model)是分析寡头序贯竞争的经典模型,由德国经济学家海因里希·冯·斯塔克伯格(Heinrich von Stackelberg)于1934年提出。模型假设一家企业(领导者)先决策,另一家企业(追随者)观察后再决策,形成领导者-追随者博弈。

核心假设:

序贯决策:领导者先动,追随者后动
产量竞争:企业选择产量作为策略变量
完全信息:追随者观察到领导者产量
承诺可信:领导者产量决策不可改变
同质产品:企业生产相同产品

与古诺模型对比:

特征	古诺模型	斯塔克伯格模型
决策顺序	同时	序贯
信息	不知对手产量	追随者知领导者产量
均衡概念	纳什均衡	子博弈完美均衡
领导者优势	无	有(先动优势)

二、理论推导 / 核心逻辑

逆向归纳法:

第二阶段(追随者决策):

给定领导者产量 $q_{L}$ ,追随者最大化利润:

max_{q_{F}} π_{F} = p (q_{L} + q_{F}) \cdot q_{F} - C_{F} (q_{F})

一阶条件:

\frac{\partial π_{F}}{\partial q_{F}} = p + q_{F} p^{'} - C_{F}^{'} = 0

解得追随者反应函数:

q_{F} = R_{F} (q_{L})

第一阶段(领导者决策):

领导者预见追随者反应,最大化:

max_{q_{L}} π_{L} = p (q_{L} + R_{F} (q_{L})) \cdot q_{L} - C_{L} (q_{L})

一阶条件:

\frac{d π_{L}}{d q_{L}} = p + (q_{L} + R_{F}) p^{'} (1 + R_{F}^{'}) - C_{L}^{'} = 0

解得领导者最优产量 $q_{L}^{*}$ ,追随者产量 $q_{F}^{*} = R_{F} (q_{L}^{*})$ 。

线性需求、对称成本:

需求: $p = a - b (q_{L} + q_{F})$

成本: $C_{i} = c q_{i}$

追随者反应函数:

q_{F} = \frac{a - c - b q_{L}}{2 b}

领导者最优化:

q_{L}^{*} = \frac{a - c}{2 b}

追随者产量:

q_{F}^{*} = \frac{a - c}{4 b}

总产量:

Q^{*} = \frac{3 (a - c)}{4 b}

价格:

p^{*} = \frac{a + 3 c}{4}

三、关键结论

斯塔克伯格模型是序贯博弈,领导者先动
领导者产量高于古诺,追随者产量低于古诺
领导者利润高于古诺,追随者利润低于古诺
总产量高于古诺,价格低于古诺
先动优势(First-Mover Advantage)存在
领导者需要可信承诺能力

四、图形解释

反应函数与斯塔克伯格均衡:

横轴:领导者产量 $q_{L}$
纵轴:追随者产量 $q_{F}$

曲线:

追随者反应函数: $R_{F} (q_{L})$ ,向右下方倾斜
领导者等利润曲线:一组曲线
斯塔克伯格均衡:领导者等利润曲线与追随者反应函数的切点

与古诺均衡对比:

古诺均衡:两条反应函数交点
斯塔克伯格均衡:在追随者反应函数上,但不在领导者反应函数上
斯塔克伯格领导者产量 > 古诺产量

五、例子(现实或数值)

例子1:数值计算

需求: $p = 100 - (q_{L} + q_{F})$

成本: $c = 10$

追随者反应函数:

q_{F} = \frac{100 - 10 - q_{L}}{2} = 45 - 0.5 q_{L}

领导者最优化:

π_{L} = [100 - (q_{L} + 45 - 0.5 q_{L})] q_{L} - 10 q_{L}

= (55 - 0.5 q_{L} - 10) q_{L}

= (45 - 0.5 q_{L}) q_{L}

一阶条件:

45 - q_{L} = 0

q_{L}^{*} = 45

追随者产量:

q_{F}^{*} = 45 - 0.5 \times 45 = 22.5

总产量: $Q = 67.5$ 价格: $p = 32.5$

利润:

π_{L} = (32.5 - 10) \times 45 = 1012.5

π_{F} = (32.5 - 10) \times 22.5 = 506.25

与古诺对比(相同参数):

模型	$q_{L}$	$q_{F}$	$Q$	$p$	$π_{L}$	$π_{F}$
古诺	30	30	60	40	900	900
斯塔克伯格	45	22.5	67.5	32.5	1012.5	506.25

领导者获得先动优势!

例子2:航空业

某航线:

领导者(大航空公司):先确定航班数量
追随者(小航空公司):观察后决定

结果:

领导者占据更大市场份额
追随者被动调整
领导者利润更高

例子3:智能手机

苹果 vs 其他厂商:

苹果:创新领导者,先推出新技术
其他厂商:跟随,模仿

斯塔克伯格特征:

苹果先动,定义市场
其他厂商反应
苹果获得品牌溢价

例子4:零售业

沃尔玛进入新市场:

沃尔玛:先建大型超市,确定规模
本地零售商:观察后调整

结果:

沃尔玛占据主导地位
本地零售商被挤压

例子5:产能投资

企业1先投资产能,企业2后投资:

企业1:

大规模投资,降低边际成本
承诺高产量

企业2:

观察后,选择较小规模
避免过度竞争

企业1获得先动优势。

例子6:不可信承诺

若领导者产量决策可改变:

领导者宣布高产量
追随者相应减产
领导者事后减产(背叛)

结果:回到古诺均衡,先动优势消失。

可信承诺(如产能投资)是关键!

例子7:多追随者

1个领导者,2个追随者:

追随者反应函数(对称):

q_{F 1} = q_{F 2} = \frac{a - c - b q_{L}}{3 b}

领导者最优:

q_{L}^{*} = \frac{a - c}{2 b}

追随者各生产:

q_{F 1}^{*} = q_{F 2}^{*} = \frac{a - c}{6 b}

领导者份额: $50 %$ 每个追随者份额: $25 %$

六、相关知识

七、现实应用

产能投资:先投资获得成本优势
市场进入:先进入者占据有利位置
技术标准:先设定标准成为领导者
品牌建设:先建立品牌获得忠诚度
战略承诺:通过不可逆投资获得优势

八、小结

斯塔克伯格模型分析序贯产量竞争,领导者先动,追随者后动。领导者通过可信承诺获得先动优势,产量和利润都高于古诺均衡。追随者被动调整,利润低于古诺。斯塔克伯格模型揭示了先动优势的重要性,对理解市场领导者战略和产能投资决策至关重要。

斯塔克伯格模型 ​

一、核心定义 ​

二、理论推导 / 核心逻辑 ​

三、关键结论 ​

四、图形解释 ​

五、例子(现实或数值) ​

六、相关知识 ​

七、现实应用 ​

八、小结 ​

斯塔克伯格模型

一、核心定义

二、理论推导 / 核心逻辑

三、关键结论

四、图形解释

五、例子(现实或数值)

六、相关知识

七、现实应用

八、小结