古诺模型

一、核心定义

古诺模型(Cournot Model)是分析寡头竞争的经典模型,由法国经济学家古诺(Augustin Cournot)于1838年提出。模型假设:

1. 产量竞争:企业选择产量作为策略变量
2. 同质产品:所有企业生产相同产品
3. 同时决策:企业同时独立决定产量
4. 完全信息:企业知道市场需求和对手成本

古诺-纳什均衡:

每个企业的产量都是对其他企业产量的最优反应,没有企业有单方面改变产量的动机。

二、理论推导 / 核心逻辑

两企业古诺模型:

市场需求:$p=P(Q)=P(q_1+q_2)$

企业 $i$ 的利润:

$${\pi }_i=p\cdot q_i-C_i(q_i)=P(q_1+q_2)\cdot q_i-C_i(q_i)$$

企业1的最优化:

$$\underset{q_1}{max}{\pi }_1=P(q_1+q_2)\cdot q_1-C_1(q_1)$$

一阶条件:

$$\frac{\partial {\pi }_1}{\partial q_1}=P(Q)+q_1{P}^{\prime }(Q)-C_1^{\prime }(q_1)=0$$

即:

$$M{R}_1(q_1,q_2)=M{C}_1(q_1)$$

反应函数(Reaction Function):

从一阶条件解出 $q_1$ 关于 $q_2$ 的函数:

$$q_1=R_1(q_2)$$

对称地,企业2的反应函数:

$$q_2=R_2(q_1)$$

古诺均衡:

反应函数的交点:

$$q_1^{\ast }=R_1(q_2^{\ast }),q_2^{\ast }=R_2(q_1^{\ast })$$

线性需求、对称成本的古诺均衡:

需求:$p=a-bQ$

成本:$C_i(q_i)=c{q}_i$ (边际成本 $c$)

企业1的反应函数:

$$q_1=\frac{a-c-b{q}_2}{2b}$$

对称均衡:

$$q_1^{\ast }=q_2^{\ast }=\frac{a-c}{3b}$$

市场总产量:

$$Q^{\ast }=\frac{2(a-c)}{3b}$$

价格:

$$p^{\ast }=a-b\cdot \frac{2(a-c)}{3b}=\frac{a+2c}{3}$$

利润:

$${\pi }_i^{\ast }=\frac{(a-c{)}^2}{9b}$$

三、关键结论

1. 古诺均衡是纳什均衡,每个企业产量是对对手产量的最优反应
2. 古诺产量高于垄断,低于完全竞争
3. 古诺价格低于垄断,高于完全竞争
4. 企业数量增加,总产量增加,价格下降,趋向完全竞争
5. 反应函数向右下方倾斜(产量是战略替代)
6. 古诺均衡唯一且稳定(在标准假设下)

四、图形解释

反应函数图:

• 横轴:企业1产量 $q_1$
• 纵轴:企业2产量 $q_2$
• 曲线:$R_1(q_2)$ 向右下方倾斜,$R_2(q_1)$ 向右下方倾斜
• 交点:古诺均衡 $(q_1^{\ast },q_2^{\ast })$

等利润曲线:

• 企业1的等利润曲线:在 $(q_1,q_2)$ 平面上,利润相同的点的轨迹
• 形状:倒U形
• 反应函数是等利润曲线的顶点轨迹

比较静态分析:

• 垄断:$(q^m,0)$ 或 $(0,q^m)$
• 古诺:$(q_1^{\ast },q_2^{\ast })$
• 完全竞争:$(q^c/2,q^c/2)$

五、例子(现实或数值)

例子1:对称古诺均衡

需求:$p=100-Q$

成本:$MC=10$ (两企业相同)

企业1反应函数:

$${\pi }_1=(100-q_1-q_2)q_1-10q_1$$$$\frac{\partial {\pi }_1}{\partial q_1}=100-2q_1-q_2-10=0$$$$q_1=\frac{90-q_2}{2}$$

对称均衡:

$$q_1^{\ast }=\frac{90-q_2^{\ast }}{2},q_2^{\ast }=\frac{90-q_1^{\ast }}{2}$$$$q_1^{\ast }=q_2^{\ast }=30$$

总产量:$Q^{\ast }=60$

价格:$p^{\ast }=100-60=40$

利润:${\pi }_1^{\ast }={\pi }_2^{\ast }=(40-10)\times 30=900$

比较:

市场结构	产量	价格	总利润
垄断	45	55	2025
古诺(2企业)	60	40	1800
完全竞争	90	10	0

例子2:不对称成本

企业1:$M{C}_1=10$

企业2:$M{C}_2=20$

需求:$p=100-Q$

反应函数:

$$q_1=\frac{90-q_2}{2},q_2=\frac{80-q_1}{2}$$

均衡:

$$q_1^{\ast }=\frac{90-q_2^{\ast }}{2}=\frac{90-(80-q_1^{\ast })/2}{2}$$$$2q_1^{\ast }=90-40+\frac{q_1^{\ast }}{2}$$$$q_1^{\ast }=\frac{100}{3}\approx 33.3$$$$q_2^{\ast }=\frac{80-33.3}{2}\approx 23.3$$

低成本企业(企业1)产量更高。

例子3:三企业古诺

需求:$p=100-Q$

成本:$MC=10$

对称均衡:

$$q_i^{\ast }=\frac{a-c}{(n+1)b}=\frac{90}{4}=22.5$$

总产量:$Q^{\ast }=67.5$

价格:$p^{\ast }=32.5$

利润:${\pi }_i^{\ast }=22.5\times 22.5=506.25$

企业数量增加,产量增加,价格和利润下降。

例子4:现实案例

• 航空业:航线上的航空公司决定航班数量(座位供给)
• 石油:OPEC成员国决定产量配额
• 电信:运营商决定网络容量
• 芯片:Intel、AMD决定产能

六、相关知识

• 纳什均衡
• 伯特兰模型
• 斯塔克伯格模型
• 寡头
• 垄断

七、现实应用

1. 产业组织:分析寡头市场的竞争行为
2. 反垄断:评估合并对市场竞争的影响
3. 产能规划:企业根据竞争对手产能决策
4. 国际贸易:出口补贴的战略性贸易政策
5. 资源经济学:共同资源的开采(如渔业)

八、小结

古诺模型是分析寡头产量竞争的基准模型,均衡是企业产量相互最优反应的纳什均衡。古诺产量介于垄断和完全竞争之间,企业数量增加使市场趋向竞争。古诺模型为理解寡头市场和制定竞争政策提供了重要框架。