替代效应

一、核心定义

替代效应(Substitution Effect)是指在保持消费者实际购买力(或效用水平)不变的情况下,仅由相对价格变化引起的消费调整。替代效应反映了消费者用相对变便宜的商品替代相对变贵的商品的倾向。

根据不同的定义方式,有两种主要分解方法:

• 斯勒茨基替代效应:保持原消费束可负担
• 希克斯替代效应:保持原效用水平不变

二、理论推导 / 核心逻辑

斯勒茨基替代效应:

当商品1价格从 $p_1$ 降至 $p_1^{\prime }$ 时:

1. 调整收入使原消费束 $(x_1^0,x_2^0)$ 仍可负担:

   $$m^{\prime }=p_1^{\prime }{x}_1^0+p_2{x}_2^0$$

2. 在新价格和调整后收入下求最优解 $(x_1^S,x_2^S)$

3. 替代效应:

   $$\mathrm{\Delta }{x}_1^S=x_1^S-x_1^0$$

希克斯替代效应:

1. 保持效用水平 $u_0=u(x_1^0,x_2^0)$ 不变

2. 在新价格下,求使效用达到 $u_0$ 的最小支出:

   $$\underset{x_1,x_2}{min}{p}_1^{\prime }{x}_1+p_2{x}_2\text{s.t. }u(x_1,x_2)=u_0$$

3. 解得补偿需求 $(x_1^H,x_2^H)$

4. 希克斯替代效应:

   $$\mathrm{\Delta }{x}_1^H=x_1^H-x_1^0$$

斯勒茨基方程:

$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1}=\frac{\partial x_1^H}{\partial p_1}-x_1\frac{\partial x_1}{\partial m}$$

其中:

• 左边:马歇尔需求对价格的偏导(总效应)
• 第一项:希克斯替代效应(总是负)
• 第二项:收入效应

三、关键结论

1. 替代效应总是与价格变化方向相反(负相关)
2. 希克斯替代效应 $\le$ 斯勒茨基替代效应(绝对值)
3. 替代效应的大小取决于商品间的替代弹性
4. 完全互补品的替代效应为零
5. 完全替代品的替代效应最大(可能全部转向便宜商品)
6. 替代效应是价格效应的一部分,另一部分是收入效应

四、图形解释

斯勒茨基分解图:

1. 初始点 $E_0$:预算线 $L_0$ 与无差异曲线 $U_0$ 的切点
2. 价格下降后:预算线旋转至 $L_2$
3. 虚拟预算线 $L_1$:平行于 $L_2$ 且过 $E_0$
4. 替代点 $E_1$: $L_1$ 与某无差异曲线的切点
5. 替代效应: $E_0\to E_1$ 的水平距离

希克斯分解图:

1. 初始点 $E_0$:在 $U_0$ 上
2. 补偿预算线:平行于 $L_2$ 且与 $U_0$ 相切
3. 补偿点 $E_H$:切点
4. 希克斯替代效应: $E_0\to E_H$ 的水平距离

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯效用

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1^{0.5}{x}_2^{0.5}$

初始: $p_1=4,p_2=1,m=100$

最优解: $x_1^0=12.5,x_2^0=50$

价格下降: $p_1^{\prime }=2$

新最优解: $x_1^{new}=25,x_2^{new}=50$

斯勒茨基替代效应:

• 虚拟收入: $m^{\prime }=2\times 12.5+1\times 50=75$
• 虚拟最优: $x_1^S=18.75,x_2^S=37.5$
• 替代效应: $18.75-12.5=6.25$

收入效应: $25-18.75=6.25$

总效应: $25-12.5=12.5=6.25+6.25$

例子2:完全互补品

效用函数: $u(x_1,x_2)=min\{x_1,x_2\}$

无论价格如何变化,最优时总有 $x_1=x_2$

替代效应为零,价格效应全部为收入效应。

例子3:完全替代品

效用函数: $u(x_1,x_2)=2x_1+x_2$

初始: $p_1=2,p_2=1,m=100$

最优解: $x_1^0=0,x_2^0=100$ (因为 $p_1/2>p_2$)

价格下降: $p_1^{\prime }=0.4$

新最优解: $x_1^{new}=250,x_2^{new}=0$ (因为 $p_1^{\prime }/2<p_2$)

替代效应极大,直接从一个角点跳到另一个角点。

六、相关知识

• 价格效应
• 收入效应
• 需求函数
• 无差异曲线
• 补偿需求

七、现实应用

1. 价格弹性分析:替代效应大的商品价格弹性高
2. 税收归宿:分析税收对消费结构的纯替代影响
3. 劳动供给:工资变化的替代效应(工作vs闲暇)
4. 跨期选择:利率变化对储蓄的替代效应
5. 国际贸易:汇率变化对进出口的替代效应

八、小结

替代效应衡量在保持购买力或效用不变时,纯粹由相对价格变化引起的消费调整。替代效应总是与价格反向变动,反映了消费者用便宜商品替代昂贵商品的理性行为。理解替代效应对于分析需求弹性和预测消费者行为至关重要。