最优消费选择

一、核心定义

最优消费选择(Optimal Consumption Choice)是消费者在预算约束下最大化效用的消费束。数学表达为:

$$\underset{x_1,x_2}{max}u(x_1,x_2)$$$$\text{s.t. }{p}_1{x}_1+p_2{x}_2\le m$$$$x_1,x_2\ge 0$$

最优解记为 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$,也称为马歇尔需求(Marshallian Demand)。

二、理论推导 / 核心逻辑

拉格朗日方法:

构造拉格朗日函数:

$$\mathcal{L}=u(x_1,x_2)+\lambda (m-p_1{x}_1-p_2{x}_2)$$

一阶条件(FOC):

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}=\frac{\partial u}{\partial x_1}-\lambda p_1=0$$$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}=\frac{\partial u}{\partial x_2}-\lambda p_2=0$$$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda }=m-p_1{x}_1-p_2{x}_2=0$$

从前两式得到切点条件:

$$\frac{M{U}_1}{M{U}_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

即: $MR{S}_{12}=\frac{p_1}{p_2}$

几何解释:最优点是无差异曲线与预算线的切点,此时两者斜率相等。

角点解:若切点条件无法满足(如完全替代品),最优解可能在边界上,即 $x_1^{\ast }=0$ 或 $x_2^{\ast }=0$。

二阶条件:效用函数拟凹(无差异曲线凸向原点)保证二阶条件满足。

三、关键结论

1. 内点最优时,MRS等于价格比
2. 最优点是无差异曲线与预算线的切点
3. 拉格朗日乘数 $\lambda$ 表示货币的边际效用
4. 角点解出现在商品完全替代或收入极低时
5. 最优消费随价格和收入变化(比较静态分析)
6. 需求函数 $x_i^{\ast }(p_1,p_2,m)$ 是最优化问题的解

四、图形解释

在 $(x_1,x_2)$ 平面上:

• 预算线:斜率为 $-p_1/p_2$ 的直线
• 无差异曲线族:凸向原点的曲线
• 最优点:最高无差异曲线与预算线的切点
• 切点条件:两条曲线在该点斜率相等

特殊情况:

• 完全替代品:角点解,全部购买相对便宜的商品
• 完全互补品:最优点在预算线与L形无差异曲线拐点的交点

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯效用

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1^{0.4}{x}_2^{0.6}$

价格: $p_1=2,p_2=3$,收入: $m=120$

一阶条件:

$$\frac{0.4x_1^{-0.6}{x}_2^{0.6}}{0.6x_1^{0.4}{x}_2^{-0.4}}=\frac{2}{3}$$

简化: $\frac{2x_2}{3x_1}=\frac{2}{3}\Rightarrow x_2=x_1$

代入预算约束: $2x_1+3x_1=120\Rightarrow x_1^{\ast }=24,x_2^{\ast }=24$

例子2:完全替代品

效用函数: $u(x_1,x_2)=2x_1+x_2$

价格: $p_1=1,p_2=3$,收入: $m=60$

$MRS=2$ (常数),价格比 $p_1/p_2=1/3<2$

因为商品1相对便宜,最优解为角点: $x_1^{\ast }=60,x_2^{\ast }=0$

例子3:完全互补品

效用函数: $u(x_1,x_2)=min\{x_1,2x_2\}$

价格: $p_1=4,p_2=3$,收入: $m=100$

最优时 $x_1=2x_2$(在拐点处)

代入预算约束: $4(2x_2)+3x_2=100\Rightarrow x_2^{\ast }=\frac{100}{11}\approx 9.09,x_1^{\ast }=\frac{200}{11}\approx 18.18$

例子4:拟线性效用

效用函数: $u(x_1,x_2)=\ln x_1+x_2$

价格: $p_1=2,p_2=1$,收入: $m=50$

一阶条件: $\frac{1/x_1}{1}=\frac{2}{1}\Rightarrow x_1^{\ast }=0.5$

代入预算约束: $x_2^{\ast }=50-2(0.5)=49$

注意: $x_1^{\ast }$ 不随收入变化(收入效应为零)。

六、相关知识

• 预算约束
• 无差异曲线
• 边际效用
• 需求函数
• 价格效应
• 收入效应

七、现实应用

1. 消费者行为预测:企业根据价格和收入预测需求
2. 税收政策:分析税收对消费结构的影响
3. 补贴设计:比较价格补贴与收入补贴的效果
4. 劳动供给:分析工资变化对工作时间的影响
5. 储蓄决策:跨期消费选择中的最优化

八、小结

最优消费选择是消费者在预算约束下最大化效用的结果。内点最优时,边际替代率等于价格比,几何上表现为无差异曲线与预算线相切。通过求解最优化问题,可以导出需求函数,为进一步分析价格效应和收入效应奠定基础。