无差异曲线

一、核心定义

无差异曲线(Indifference Curve)是在商品空间中,连接所有给消费者带来相同效用水平的消费束的轨迹。数学上,对于效用函数 $u(x_1,x_2)$,无差异曲线是满足以下条件的点集:

$$IC(\overline{u})=\{(x_1,x_2):u(x_1,x_2)=\overline{u}\}$$

其中 $\overline{u}$ 是给定的效用水平。

二、理论推导 / 核心逻辑

边际替代率(Marginal Rate of Substitution, MRS)定义为无差异曲线的斜率(取绝对值):

$$MR{S}_{12}=-\frac{d{x}_2}{d{x}_1}{|}_{u=\overline{u}}=\frac{M{U}_1}{M{U}_2}=\frac{\partial u/\partial x_1}{\partial u/\partial x_2}$$

推导过程:沿无差异曲线,效用保持不变,因此全微分为零:

$$du=\frac{\partial u}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}d{x}_2=0$$

整理得:

$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{\partial u/\partial x_1}{\partial u/\partial x_2}=-\frac{M{U}_1}{M{U}_2}$$

边际替代率递减规律:沿着无差异曲线向右下方移动时,MRS递减,即曲线凸向原点。这反映了多样化消费的偏好。

三、关键结论

1. 无差异曲线向右下方倾斜(单调偏好下)
2. 同一偏好下的无差异曲线不相交(传递性)
3. 离原点越远的无差异曲线代表越高的效用水平
4. 无差异曲线凸向原点(边际替代率递减)
5. MRS等于两种商品边际效用之比
6. 无差异曲线的形状反映了商品之间的替代关系

四、图形解释

在 $(x_1,x_2)$ 平面上:

• 纵轴:商品2的数量
• 横轴:商品1的数量
• 曲线:向右下方倾斜的凸曲线
• 斜率:任意点的斜率绝对值为该点的MRS
• 曲线族:多条平行的无差异曲线,越靠右上方效用越高

特殊情况:

• 完全替代品:直线形无差异曲线
• 完全互补品:L形无差异曲线
• 中性商品:水平或垂直线

五、例子(现实或数值)

例子1:柯布-道格拉斯效用

效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1^{0.5}{x}_2^{0.5}$

MRS计算:

$$MRS=\frac{M{U}_1}{M{U}_2}=\frac{0.5x_1^{-0.5}{x}_2^{0.5}}{0.5x_1^{0.5}{x}_2^{-0.5}}=\frac{x_2}{x_1}$$

当 $x_1=4,x_2=16$ 时,$MRS=4$,表示消费者愿意用4单位商品2交换1单位商品1。

例子2:完全替代品

红笔和蓝笔对学生完全替代,效用函数: $u(x_1,x_2)=x_1+x_2$

MRS恒为1,无差异曲线为斜率-1的直线。

例子3:完全互补品

咖啡和糖(固定比例1:2),效用函数: $u(x_1,x_2)=min\{x_1,x_2/2\}$

无差异曲线为L形,拐点在 $x_2=2x_1$ 线上。

六、相关知识

• 偏好
• 效用函数
• 边际效用
• 预算约束
• 最优消费选择
• 替代效应

七、现实应用

1. 消费者行为分析:理解消费者在不同商品间的权衡
2. 产品定位:企业分析产品间的替代关系
3. 价格策略:根据MRS设计捆绑销售方案
4. 福利分析:比较不同政策对消费者福利的影响
5. 劳动供给:分析闲暇与收入之间的替代关系

八、小结

无差异曲线是偏好的图形表示,其斜率(MRS)反映了消费者在两种商品间的替代意愿。边际替代率递减规律导致无差异曲线凸向原点,这是消费者最优选择分析的基础。不同形状的无差异曲线对应不同的商品替代关系。