需求弹性

一、核心定义

需求弹性(Demand Elasticity)衡量需求量对影响因素变化的敏感程度。主要包括:

价格弹性(Price Elasticity of Demand):

ϵ_{p} = \frac{\partial x}{\partial p} \cdot \frac{p}{x} = \frac{d x / x}{d p / p}

表示价格变化1%时需求量变化的百分比。

收入弹性(Income Elasticity of Demand):

ϵ_{m} = \frac{\partial x}{\partial m} \cdot \frac{m}{x} = \frac{d x / x}{d m / m}

表示收入变化1%时需求量变化的百分比。

交叉价格弹性(Cross-Price Elasticity):

ϵ_{12} = \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{2}} \cdot \frac{p_{2}}{x_{1}}

表示商品2价格变化1%时商品1需求量变化的百分比。

二、理论推导 / 核心逻辑

价格弹性的分类:

$| ϵ_{p} | > 1$ :富有弹性(Elastic),需求对价格敏感
$| ϵ_{p} | = 1$ :单位弹性(Unit Elastic)
$| ϵ_{p} | < 1$ :缺乏弹性(Inelastic),需求对价格不敏感
$ϵ_{p} = 0$ :完全无弹性(Perfectly Inelastic)
$ϵ_{p} = - \infty$ :完全弹性(Perfectly Elastic)

收入弹性的分类:

$ϵ_{m} > 1$ :奢侈品(Luxury Good)
$0 < ϵ_{m} < 1$ :必需品(Necessity)
$ϵ_{m} < 0$ :劣等品(Inferior Good)
$ϵ_{m} = 0$ :中性商品

交叉弹性的分类:

$ϵ_{12} > 0$ :替代品(Substitutes)
$ϵ_{12} < 0$ :互补品(Complements)
$ϵ_{12} = 0$ :无关商品

弹性与总收益:

总收益 $T R = p \cdot x (p)$

\frac{d T R}{d p} = x + p \frac{d x}{d p} = x (1 + ϵ_{p})

$| ϵ_{p} | > 1$ :降价增加总收益
$| ϵ_{p} | < 1$ :降价减少总收益
$| ϵ_{p} | = 1$ :总收益最大化

三、关键结论

价格弹性通常为负(需求法则)
弹性沿线性需求曲线变化(非常数)
替代品越多,价格弹性越大
必需品价格弹性小,奢侈品价格弹性大
长期弹性大于短期弹性
收入弹性决定商品类型(必需品/奢侈品/劣等品)

四、图形解释

线性需求曲线: $x = a - b p$

弹性: $ϵ_{p} = - \frac{b p}{a - b p}$

高价区: $| ϵ_{p} | > 1$ (富有弹性)
中点: $| ϵ_{p} | = 1$ (单位弹性)
低价区: $| ϵ_{p} | < 1$ (缺乏弹性)

特殊需求曲线:

水平线:完全弹性( $ϵ_{p} = - \infty$ )
垂直线:完全无弹性( $ϵ_{p} = 0$ )
双曲线:单位弹性( $ϵ_{p} = - 1$ )

总收益曲线:

在 $| ϵ_{p} | = 1$ 处达到最大值
弹性区:总收益递增
无弹性区:总收益递减

五、例子(现实或数值)

例子1:线性需求弹性

需求函数: $x = 100 - 2 p$

当 $p = 10$ 时:

$x = 80$
$ϵ_{p} = - \frac{2 \times 10}{80} = - 0.25$ (缺乏弹性)

当 $p = 40$ 时:

$x = 20$
$ϵ_{p} = - \frac{2 \times 40}{20} = - 4$ (富有弹性)

例子2:柯布-道格拉斯需求

需求函数: $x_{1} = \frac{α m}{p_{1}}$

价格弹性:

ϵ_{p} = \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}} \cdot \frac{p_{1}}{x_{1}} = - \frac{α m}{p_{1}^{2}} \cdot \frac{p_{1}}{α m / p_{1}} = - 1

收入弹性:

ϵ_{m} = \frac{\partial x_{1}}{\partial m} \cdot \frac{m}{x_{1}} = \frac{α}{p_{1}} \cdot \frac{m}{α m / p_{1}} = 1

例子3:现实商品弹性

商品	价格弹性	收入弹性
食盐	-0.1	0.1
大米	-0.5	0.4
汽车	-1.2	2.5
奢侈品	-2.5	3.0

例子4:弹性与总收益

需求: $x = 100 - p$

总收益: $T R = p (100 - p) = 100 p - p^{2}$

最大化: $\frac{d T R}{d p} = 100 - 2 p = 0 \Rightarrow p^{*} = 50$

此时 $ϵ_{p} = - \frac{50}{50} = - 1$ (单位弹性)

例子5:交叉弹性

咖啡和茶(替代品):

茶价格上升10%
咖啡需求增加5%
交叉弹性: $ϵ_{c o f f e e, t e a} = 0.5 > 0$

汽车和汽油(互补品):

汽油价格上升10%
汽车需求减少3%
交叉弹性: $ϵ_{c a r, g a s} = - 0.3 < 0$

六、相关知识

七、现实应用

定价策略:弹性大的商品不宜大幅涨价
税收政策:对缺乏弹性商品征税效率高
收益管理:航空、酒店根据弹性调整价格
农产品政策:农产品缺乏弹性,价格波动大
反垄断:评估市场势力需考虑需求弹性

八、小结

需求弹性衡量需求对价格、收入等因素的敏感程度,是微观经济分析的核心工具。价格弹性决定价格变化对总收益的影响,收入弹性区分商品类型,交叉弹性反映商品间关系。理解弹性对于定价、税收和政策分析至关重要。

需求弹性 ​

一、核心定义 ​

二、理论推导 / 核心逻辑 ​

三、关键结论 ​

四、图形解释 ​

五、例子(现实或数值) ​

六、相关知识 ​

七、现实应用 ​

八、小结 ​