预算约束

一、核心定义

预算约束(Budget Constraint)描述了消费者在给定收入和商品价格下可负担的所有消费束的集合。对于 $n$ 种商品,预算约束为:

$$p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n\le m$$

其中 $p_i$ 是商品 $i$ 的价格,$x_i$ 是消费量,$m$ 是消费者的货币收入。

预算线(Budget Line)是预算约束取等号时的边界:

$$p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n=m$$

预算集(Budget Set)是满足预算约束的所有消费束:

$$B(p,m)=\{(x_1,\dots ,x_n):p\cdot x\le m,x\ge 0\}$$

二、理论推导 / 核心逻辑

两商品情况的预算线:

$$p_1{x}_1+p_2{x}_2=m$$

改写为斜截式:

$$x_2=\frac{m}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}{x}_1$$

• 截距: $\frac{m}{p_2}$ (纵轴)和 $\frac{m}{p_1}$ (横轴)
• 斜率: $-\frac{p_1}{p_2}$ (价格比的负值)

预算线的移动:

1. 收入变化:收入增加 $\mathrm{\Delta }m$,预算线平行外移,截距变为 $\frac{m+\mathrm{\Delta }m}{p_i}$
2. 价格变化:若 $p_1$ 下降,预算线以纵轴截距为支点向外旋转,横轴截距从 $\frac{m}{p_1}$ 增加到 $\frac{m}{p_1^{\prime }}$
3. 等比例变化:若所有价格和收入同比例变化,预算集不变(无货币幻觉)

复合商品定理:当只关注一种商品时,可将其他所有商品合并为"复合商品",价格标准化为1。

三、关键结论

1. 预算线斜率等于价格比的负值
2. 收入变化导致预算线平行移动
3. 单个商品价格变化导致预算线旋转
4. 预算集是凸集(任意两点的凸组合仍在集合内)
5. 所有价格和收入等比例变化不影响预算集(齐次性)
6. 最优消费通常在预算线上(局部非饱和性)

四、图形解释

在 $(x_1,x_2)$ 平面上:

• 预算线:斜率为 $-p_1/p_2$ 的直线
• 预算集:预算线及其左下方区域(阴影部分)
• 截距:与坐标轴的交点表示全部收入购买单一商品的数量

变化图示:

• 收入增加:预算线向右上方平行移动
• 商品1降价:预算线以纵轴截距为支点逆时针旋转
• 商品2涨价:预算线以横轴截距为支点顺时针旋转

五、例子(现实或数值)

例子1:基本预算约束

消费者收入 $m=120$ 元,商品1价格 $p_1=3$ 元,商品2价格 $p_2=4$ 元。

预算线: $3x_1+4x_2=120$

改写: $x_2=30-0.75x_1$

• 横轴截距: $120/3=40$
• 纵轴截距: $120/4=30$
• 斜率: $-3/4=-0.75$

例子2:收入变化

若收入增加到 $m^{\prime }=180$ 元,价格不变:

新预算线: $x_2=45-0.75x_1$

预算线平行外移,斜率不变,截距增加50%。

例子3:价格变化

若商品1降价到 $p_1^{\prime }=2$ 元,收入和 $p_2$ 不变:

新预算线: $x_2=30-0.5x_1$

• 横轴截距增加到60
• 纵轴截距不变(30)
• 斜率变缓(从-0.75到-0.5)

例子4:食品券

政府发放价值30元的食品券(只能购买食品)。若食品价格 $p_f=5$ 元,其他商品价格 $p_o=1$ 元,现金收入 $m=100$ 元。

• 无食品券:预算线 $5x_f+x_o=100$
• 有食品券:预算线在 $x_f\le 6$ 时为 $x_o=100$,在 $x_f>6$ 时为 $5x_f+x_o=130$

预算集呈现折线形状。

六、相关知识

• 最优消费选择
• 价格效应
• 收入效应
• 需求函数
• 无差异曲线

七、现实应用

1. 家庭预算规划:在有限收入下分配支出
2. 政策分析:比较现金补贴与实物补贴(如食品券)的效果
3. 税收影响:分析从量税、从价税对预算约束的影响
4. 信贷约束:研究借贷限制对消费选择的影响
5. 时间预算:将时间视为约束,分析工作-闲暇选择

八、小结

预算约束定义了消费者的可行消费集合,是消费者最优化问题的核心约束条件。预算线的斜率由价格比决定,位置由收入决定。理解预算约束的变化(收入变化、价格变化)是分析消费者行为和需求变化的基础。