CAPM模型

一、核心定义

资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)是现代金融学的基石理论,描述了风险资产的预期收益与系统性风险之间的线性关系。CAPM由威廉·夏普(William Sharpe)等人在1960年代提出。

核心方程:

E (R_{i}) = R_{f} + β_{i} [E (R_{m}) - R_{f}]

其中:

$E (R_{i})$ :资产 $i$ 的预期收益率
$R_{f}$ :无风险利率
$β_{i}$ :资产 $i$ 的贝塔系数
$E (R_{m})$ :市场组合的预期收益率
$E (R_{m}) - R_{f}$ :市场风险溢价

贝塔系数:

β_{i} = \frac{C o v (R_{i}, R_{m})}{V a r (R_{m})} = \frac{σ_{i m}}{σ_{m}^{2}}

贝塔衡量资产相对于市场的系统性风险。

二、理论推导 / 核心逻辑

假设条件:

投资者是风险厌恶的均值-方差优化者
投资者具有同质预期
单期投资视角
无交易成本和税收
资产无限可分
存在无风险资产

推导过程:

市场组合:所有风险资产按市值加权的组合
资本市场线(CML):
$E (R_{p}) = R_{f} + \frac{E (R_{m}) - R_{f}}{σ_{m}} σ_{p}$
证券市场线(SML): 对于单个资产,只有系统性风险被定价:
$E (R_{i}) = R_{f} + β_{i} [E (R_{m}) - R_{f}]$

风险分解:

总风险 = 系统性风险 + 非系统性风险

σ_{i}^{2} = β_{i}^{2} σ_{m}^{2} + σ_{ϵ_{i}}^{2}

非系统性风险可通过分散化消除,不被定价。

阿尔法(Alpha):

实际收益与CAPM预测的偏差:

α_{i} = R_{i} - [R_{f} + β_{i} (R_{m} - R_{f})]

$α > 0$ :超额收益(跑赢市场) $α < 0$ :低于预期(跑输市场)

三、关键结论

预期收益与系统性风险(贝塔)成正比
只有系统性风险被定价,非系统性风险可分散
贝塔衡量资产相对于市场的敏感度
市场组合是均值-方差有效的
所有资产都在证券市场线上
阿尔法为零表示资产定价合理

四、图形解释

证券市场线(SML):

横轴:贝塔 $β$
纵轴:预期收益 $E (R)$
直线:从 $(0, R_{f})$ 到 $(1, E (R_{m}))$

特殊点:

无风险资产: $β = 0, E (R) = R_{f}$
市场组合: $β = 1, E (R) = E (R_{m})$

资产定价:

在SML上:定价合理
在SML上方:低估(买入)
在SML下方:高估(卖出)

风险-收益权衡:

贝塔越高,预期收益越高,但波动性也越大。

五、例子(现实或数值)

例子1:贝塔计算

股票A与市场的协方差: $C o v (R_{A}, R_{m}) = 0.04$ 市场方差: $V a r (R_{m}) = 0.02$

贝塔:

β_{A} = \frac{0.04}{0.02} = 2

股票A的波动性是市场的2倍。

例子2:预期收益计算

无风险利率: $R_{f} = 3 %$ 市场预期收益: $E (R_{m}) = 10 %$ 股票贝塔: $β = 1.5$

预期收益:

E (R) = 3 % + 1.5 \times (10 % - 3 %) = 3 % + 10.5 % = 13.5 %

例子3:不同贝塔的资产

资产	贝塔 $β$	预期收益 $E (R)$	风险特征
国债	0	3%	无风险
防御性股票	0.5	6.5%	低风险
市场组合	1.0	10%	平均风险
成长股	1.5	13.5%	高风险
科技股	2.0	17%	极高风险

例子4:阿尔法计算

股票实际收益: $R = 15 %$ CAPM预期收益: $E (R) = 13.5 %$

阿尔法:

α = 15 % - 13.5 % = 1.5 %

正阿尔法表示超额收益,可能是:

基金经理技能
运气
市场无效率

例子5:行业贝塔

典型行业贝塔(美国市场):

行业	平均贝塔
公用事业	0.5
消费品	0.8
金融	1.2
科技	1.5
生物科技	2.0

例子6:投资组合贝塔

投资组合:

50% 股票A( $β_{A} = 1.5$ )
30% 股票B( $β_{B} = 0.8$ )
20% 股票C( $β_{C} = 1.2$ )

组合贝塔:

β_{p} = 0.5 \times 1.5 + 0.3 \times 0.8 + 0.2 \times 1.2 = 0.75 + 0.24 + 0.24 = 1.23

预期收益(假设 $R_{f} = 3 %, E (R_{m}) = 10 %$ ):

E (R_{p}) = 3 % + 1.23 \times 7 % = 11.61 %

六、相关知识

七、现实应用

资产估值:计算股票的合理预期收益
投资决策:选择风险调整后收益最高的资产
业绩评估:通过阿尔法评估基金经理表现
资本预算:确定项目的折现率
风险管理:衡量投资组合的系统性风险

八、小结

CAPM描述了预期收益与系统性风险(贝塔)的线性关系,是现代金融学的基石。模型指出只有系统性风险被定价,非系统性风险可通过分散化消除。CAPM广泛应用于资产估值、投资决策和业绩评估,尽管实证检验存在争议,但仍是金融分析的重要工具。

CAPM模型 ​

一、核心定义 ​

二、理论推导 / 核心逻辑 ​

三、关键结论 ​

四、图形解释 ​

五、例子(现实或数值) ​

六、相关知识 ​

七、现实应用 ​

八、小结 ​