风险资产与无风险资产

一、核心定义

投资组合理论将资产分为风险资产(Risky Asset)和无风险资产(Risk-free Asset)。无风险资产提供确定收益,风险资产收益不确定但期望收益更高。

无风险资产:

国债(短期)
银行存款(有存款保险)
收益率: $R_{f}$ ,标准差: $σ_{f} = 0$

风险资产:

股票、债券、商品等
期望收益: $E (R)$ ,标准差: $σ > 0$

资本配置线(CAL):

E (R_{p}) = R_{f} + \frac{E (R_{A}) - R_{f}}{σ_{A}} σ_{p}

斜率为夏普比率

二、理论推导

两资产组合:

权重:无风险资产 $w_{f}$ ,风险资产 $w_{A} = 1 - w_{f}$

期望收益:

E (R_{p}) = w_{f} R_{f} + (1 - w_{f}) E (R_{A})

标准差:

σ_{p} = (1 - w_{f}) σ_{A}

最优配置:

w_{A}^{*} = \frac{E (R_{A}) - R_{f}}{γ σ_{A}^{2}}

其中 $γ$ 是风险厌恶系数

三、关键结论

无风险资产提供确定收益
资本配置线描述风险收益权衡
夏普比率衡量单位风险的超额收益
风险厌恶者持有更多无风险资产
杠杆投资:借入无风险资产投资风险资产
资本市场线是特殊的资本配置线

四、例子

例子1:保守投资者

风险厌恶系数: $γ = 4$
股票: $E (R) = 10 %, σ = 20 %$
无风险利率: $R_{f} = 3 %$

最优股票权重:

w_{A} = \frac{10 % - 3 %}{4 \times 0.04} = \frac{0.07}{0.16} = 43.75 %

配置:43.75%股票,56.25%国债

例子2:激进投资者

风险厌恶系数: $γ = 2$
同样资产

最优股票权重:

w_{A} = \frac{0.07}{2 \times 0.04} = 87.5 %

配置:87.5%股票,12.5%国债

例子3:杠杆投资

风险厌恶系数: $γ = 1$
最优权重:175%

借入75%无风险资产,投资175%于股票

例子4:生命周期投资

年轻时:80%股票,20%债券
中年:60%股票,40%债券
退休:40%股票,60%债券

随年龄增长降低风险暴露

五、现实应用

资产配置
目标日期基金
风险平价策略
杠杆ETF
养老金管理

六、小结

风险资产与无风险资产的配置是投资组合管理的核心。资本配置线描述风险收益权衡,最优配置取决于风险厌恶程度。夏普比率衡量风险调整后收益。理解两类资产的配置对投资决策至关重要。

风险资产与无风险资产 ​

一、核心定义 ​

二、理论推导 ​

三、关键结论 ​

四、例子 ​

五、现实应用 ​