均值-方差模型

一、核心定义

均值-方差模型(Mean-Variance Model)由马科维茨(Markowitz)提出,是现代投资组合理论的基础。投资者在给定风险下最大化收益,或在给定收益下最小化风险。

投资组合收益:

$$E(R_p)=\sum _{i=1}^n{w}_{i}E(R_i)$$

投资组合方差:

$${\sigma }_p^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{w}_i{w}_j{\sigma }_{ij}$$

优化问题:

$$\underset{w}{min}{\sigma }_p^{2}s.t.E(R_p)=\overline{R},\sum w_i=1$$

二、理论推导

有效前沿:

• 给定收益下最小方差的组合
• 向右上倾斜的曲线

分离定理:

• 所有投资者持有相同的风险资产组合
• 通过无风险资产调整风险

最优组合:

$$w^{\ast }=\frac{1}{\gamma }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\mu -r_f\mathbf{1})$$

其中$\gamma$是风险厌恶系数

三、关键结论

1. 分散化降低风险
2. 有效前沿是最优组合集合
3. 相关性越低,分散化效果越好
4. 存在无风险资产时,最优组合在资本市场线上
5. 马科维茨获1990年诺贝尔奖
6. 实践中需要估计大量参数

四、例子

例子1:两资产组合

• 股票:$E(R)=12\mathrm{\%},\sigma =20\mathrm{\%}$
• 债券:$E(R)=6\mathrm{\%},\sigma =10\mathrm{\%}$
• 相关系数:$\rho =0.3$

最小方差组合:

$$w_{stock}=\frac{{\sigma }_{bond}^2-\rho {\sigma }_{stock}{\sigma }_{bond}}{{\sigma }_{stock}^2+{\sigma }_{bond}^2-2\rho {\sigma }_{stock}{\sigma }_{bond}}$$$$=\frac{100-0.3\times 200}{400+100-120}=0.16$$

例子2:60/40组合

• 60%股票,40%债券
• 经典配置
• 风险收益平衡

例子3:全球分散化

• 美国股票+国际股票
• 相关性0.7
• 降低组合波动性15%

五、现实应用

1. 资产配置
2. 投资组合构建
3. 风险管理
4. 业绩评估
5. 养老金管理

六、小结

均值-方差模型是现代投资组合理论基础,通过分散化降低风险。有效前沿描述最优组合,分离定理简化投资决策。实践中需要估计收益、方差和协方差。理解该模型对投资组合管理至关重要。